SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri
1. Jika sudut α dan β lancip, cosα =
5
4 dan cos β =
25
24 ,
berapa nilai cos(α- β) ?
Jawab :
* diketahui cosα =
5
4 ; dimana cosα =
r
x
x = 4
r y ⇒ r = 5 5
3
α α
x r = 22
yx + 4
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 9 = 3± karena sudut lancip berada di kuadran 1
maka nilai yang diambil adalah + 3
sehingga sin α =
r
y =
5
3
* diketahui cos β =
25
24 ; dimana cos β =
r
x
2
y = 2
r - 2
x
= 625 – 576
= 49
y = 49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =
r
y =
25
7
Ditanyakan cos(α- β) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi
cos(α- β) = cos α cos β + sin α sin β
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
masukkan nilai-nilai di atas :
=
5
4 .
25
24 +
5
3 .
25
7
=
125
96 +
125
21 =
125
117
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm.
Nilai Cos C adalah…..
Jawab : B
3 (c) 4 (a)
A C
5 (b)
gunakan aturan cosinus
2
c = 2
a + 2
b - 2ab cos C
2 ab cos C = 2
a + 2
b - 2
c
cos C =
ab
cba
2
222
−+
=
5.4.2
354 222
−+ =
40
38 =
20
19
3. Diketahui cos A =
5
4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A ….
Jawab:
berada di kuadran kedua berarti x nya negatif
kuadran I Æ x = + ; y= +
kuadran II Æ x = - ; y = +
kuadran III Æ x = - ; y = -
kuadran IV Æ x = + ; y= -
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
cos A =
5
4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A =
5
4−
5
3
- 4
cos A =
5
4− =
r
x
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 3 Æ sehingga sin A =
r
y =
5
3
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2.
5
3 .
5
4− =
25
24−
4. Bentuk
2
4cos1 x− adalah identik dengan …
Jawab:
2
4cos1 x− =
2
1 -
2
4cos x
=
2
1 -
2
)22cos( xx +
=
2
1 -
2
2sin2sin2cos2cos xxxx −
=
2
1 -
2
2sin2cos 22
xx −
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
2
1 -
2
)2sin21( 2
x−
=
2
1 -
2
1 + x2sin 2
= x2sin 2
5. Jika
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 , maka θ = ……….
jawab :
2
)
sin
cos1(
θ
θ− = 2
)
3
3(
θ
θθ
2
2
sin
coscos21 +− =
3
1
θ
θθ
2
2
cos1
coscos21
−
+− =
3
1 ⇒ 1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 ( 1- θ2
cos )
1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 -
3
1 θ2
cos
3
2 - 2 cosθ +
3
4 θ2
cos = 0
3
4 θ2
cos - 2 cosθ +
3
2 = 0 x 3
4 θ2
cos - 6 cos θ + 2 = 0
pakai rumus ABC :
Anggap cos θ = x
diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2
2,1x = a
acbb
2
42 −±−
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
8
32366 −± ⇒ 1x =
8
26 + = 1 ; 2x =
8
26 − =
2
1
1x = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0
0
2x =
2
1 ⇒ cos θ =
2
1 ; θ = 0
60
Kita masukkan ke dalam persamaan :
θ = 0
0
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
0
11 − = ~ ⇒ tidak memenuhi
θ = 0
60
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
3
2
1
2
11 −
=
3
2
1
2
1
=
3
1 =
3
1 x
3
3 =
3
3 ⇒ memenuhi
Sehingga nilai θ = 0
60
6. Bentuk
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ senilai dengan ….
Jawab :
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ =
)46(
2
1cos)46(
2
1cos2
)46(
2
1cos)46(
2
1sin2
xxxx
xxxx
−+
−+
= tan
2
1 10x = tan 5x
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
Jawab :
untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori
Urutan pemecahannya:
- dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus
atau cosinus (bukan tangen)
- kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1
- kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :
kita lihat pada grafik apabila x = 0
15 menunjukkan nilai y= 0 ;
karena grafik bergeser ke kanan 0
15 maka fungsi yang dipakai adalah 0
)15( −x
(kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai 0
)15( +x )
kalau dimasukkan nilai 0
15 maka 0
)15( −x = 0
0
nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0
0 = 0
fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin 0
)15( −x tetapi karena nilai minimumnya berada
di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin 0
)15( −x .
(di kuadran pertama standarnya adalah positif)
α 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90
Sin 0
2
1 2
1 2 2
1 3 1
Cos 1
2
1 3 2
1 2 2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 0
360 sehingga
persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 0
)15( −x
Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 0
15 , 0
105 dan 0
195
x = 0
15 → y= -sin 2 0
)15( −x = -sin 0
0= 0 Æ benar
x = 0
105 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
180 = - sin( 0
180 - α) →α= 0
0
maka - sin 0
180 = -sin 0
0= 0 Æ benar
Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 0
60
x = 0
60 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
90 = - 1 Æ benar
Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 0
150
x = 0
150 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
270 = - sin( 0
180 +α)= sin α= 1 Æ benar
8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0
0< x < 0
360
Jawab :
sin x + cos x = 0 ⇔ 2
)cos(sin xx + = 2
0
⇔ x2
sin + x2
cos + 2 sin x cos x = 0 ( x2
sin + x2
cos = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x)
⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1
Nilai yang memenuhi adalah 2x = 0
270 → x = 0
135
dan 2x = 0
630 → x = 0
315 (ingat sin (k. 0
360 + α) = sin α)
(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran)
Sehingga HP= { 0
135 , 0
315 }
www.bimbelSMES.com
Bimbel Pertama dan Satu-satunya yang Memberikan Cashback Tak Terbatas
1
x
r
Persamaan Kuadrat
Contoh Soal & Pembahasan
1. Sepotong kawat tembaga panjangnya 78 cm akan dibentuk menjadi seperti gambar dibawah ini.
Tentukanlah :
a. x dalam r
b. luas maksimum bangun
Jawab:
a. x dalam r
7
25273
14
50546
5014546
7
22422
7
22
2
122278
rrx
rx
rrxrrx
−
=
−
=
+=
++=
××+×+=
b. luas bangun = luas persegi panjang + luas setengah lingkaran
273
394
778
7
394
0
7
39478
4
4
7
3978
7
39546
7
11
7
50546
7
11
7
22
2
1
7
505462
7
252732
2
2
2
2
2
2
2
22
2
=
×
×
=
×
××+
=
−
−
=
−=
−
=×+
−
=
×=××=
−
=×
−
=×=
×=
a
acbL
rrrrrrrLtotal
rrLsl
rrrrrxLpp
lpLpp
Sehingga luas bangun tersebut adalah 273 cm2
2. Tentukanlah akar – akar dari persamaan (x+2) + 06
2
8 =−
+x
Jawab :
missal A = x+2
A + 8/A – 6 = 0
A2
– 6A + 8 = 0
(A – 2)(A – 4) = 0
A = 2 atau A = 4
x + 2 = 2 →x = 0 atau x + 2 = 4 → x = 2
3. Diketahui 0)32()32( 22
=−++−− ppxpx
Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda!
www.bimbelSMES.com
Bimbel Pertama dan Satu-satunya yang Memberikan Cashback Tak Terbatas
2
Jawab :
Syarat persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang berbeda D>0
acbD 42
−=
20
21
20
21
2021
02120
012849124
0)32)(1(4)32((
04
22
22
2
<
>
>
>+−
>+−−+−
>−+−−−
>−
p
p
p
p
pppp
ppp
acb
4. Carilah nilai m pada persamaan berikut ini :
07)3()4( 2
=−+−− xmxm mempunyai akar-akar 1x dan 2x . Jika 13
2
3
1 =− xx
Jawab :
10
52220210
10
812044100210
2
4
014521014
014521014
0124864209143111913
)4()1913()11(
1
)4(
1913
)4(
11
1
)4(
72896
)4(
11
1
4
7
4
)3(
)4(
11
1
4
7
4
)3(
)4(
11
1)))(((
1
)4(
11
)4(
)11(
)4(
12122
)4(
1122896
)4(
)7)(4(4))3((
4
7
)4(
7
4
)3(
)4(
)3(
07)3()4(
2
2
2
32223
32
2
2
2
2
2
2
21
2
2121
3
2
3
1
22
22
21
21
21
2
±
=
+±
=
−±−
=
=−−
=−−
=−+−+−−−−+
−−=−+×−
=
−
−+
×
−−
−
=
−
+−++
×
−−
−
=
−
−
−
+
×
−−
−
=
−
−
−
+
−×
−−
−
=−+−
=−
−−
−
=
−−
−
=
−−
+−
=
−−
+−++
=
−−
−++−
==−
−
=
−−
−
==×
−
+
−=
−−
+−
−=−=+
=++−−−
a
acbbm
mm
mm
mmmmmmmm
mmmm
m
mm
m
m
m
mmm
m
m
mm
m
m
m
mm
m
m
m
xxxxxx
xx
m
m
m
m
m
mm
m
mmm
m
mm
a
Dxx
mma
cxx
m
m
m
m
a
bxx
xmxm
www.bimbelSMES.com
Bimbel Pertama dan Satu-satunya yang Memberikan Cashback Tak Terbatas
3
Soal Tambahan
1. Tentukanlah x dari : 3x2
- 5x + 16453 2 =+− xx .Petunjuk: misalkan y= 453 2 +− xx ................ x =3 or 3
4−
2. Hasil kali tiga bilangan bulat yang berurutan adalah 133 kurangnya dari pangkat 3 bilangan yang terbesar
diantara bilangan – bilangan itu. Bilangan – bilangan itu adalah..........................................................5,6,7
3. Berapa ukuran dari lahan persegipanjang terluas yang dapat dipagari oleh pagar yang panjangnya 1200 m
......................................................................................................................................Jwb : 300 m x 300 m
4. Akar – akar persamaan mx2
– 2x - 4m – 1=0 adalah a & b. Tentukanlah nilai m supaya a>1 dan
b<1.........................................................................................................................................m< -1 or m>0
5. Akar – akar persamaan x2
+ 2x – 5 = 0 adalah a&b. Hitunglah nilai dari :
a. a3
+ b3
...................-38
b. a4
+ b4
...................146
c. a6
+ b6
...................1694
6. Akar – akar x2
+ px + q = 0 adalah a&b. Tentukan hubungan p & q jika a3
+ b3
= a.b.(a+b)...........p2
= 4q
7. Persamaan x2
+ 4x = a dan 2x2
+ 10x = a mempunyai sebuah akar yang sama. Akar tsb dan a
adalah............................................................................................................ x = 0, a = 0 or x = -6, a = 12
8. Sejumlah murid mengumpulkan uang sebanyak Rp. 96.000,-. Setiap orang harus memberi iuran yang
sama. Kemudian ternyata 4 orang tidak mau bayar. Untuk menutup kekurangannya, murid – murid lain
harus menambah masing – masing Rp 2000,-. Berapakah jumlah murid yang membayar?.............12 orang
9. Jika a & b adalah akar – akar dari PK x(x-2) = 1, maka tentukanlah PK baru yang akar – akarnya a2
+ b
dan a + b2
!...................................................................................................................... ......x2
– 8x + 14 = 0
Bab 3. Permutasi dan Kombinasi
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan su-atu obyek yang terdiri dari beberapa unsur, baik yang disusun dengan mem-pertimbangkan urutan sesuai dengan posisi yang diinginkan maupun yang
tidak. Misalnya menyusun kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris
dan Bendahara dimana urutan untuk posisi tersebut dipertimbangkan atau
memilih beberapa orang untuk mewakili sekelompok orang dalam mengikuti
suatu kegiatan yang dalam hal ini urutan tidak menjadi pertimbangan. Dalam
matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa unsur dengan
mempertimbangkan urutan disebut dengan permutasi, sedangkan yang tidak
mempertimbangkan urutan disebut dengan kombinasi.
3.1. Permutasi
Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan
Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh
permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang
akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan
Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang
mungkin, yaitu:
Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.
Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.
Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan
dalam 1 cara.
Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3:2:1 = 6.
Secara formal, permutasi dapat dide nisikan sebagai berikut.
De nisi 3.1
Permutasi dari n unsur yang berbeda x1;x2;:::;xn adalah pengurutan dari n
unsur tersebut.
Contoh 3.1
Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC !
Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.
1
Teorema 3.1
Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.
Bukti.
Asumsikan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda merupakan akti -tas yang terdiri dari n langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah
memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah ke-dua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n 1 cara
karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai
pada langkah ke-n yang bisa dilakukan dengan 1 cara. Berdasarkan Prinsip
Perkalian, terdapat
n(n 1)(n 2):::2:1 = n!
permutasi dari n unsur yang berbeda. 2
Contoh 3.2
Berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?
Terdapat 3:2:1 = 6 permutasi dari huruf ABC.
Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus se-lalu muncul bersama?
Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama, maka subuntai ABC
bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang
dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4:3:2:1 = 24.
De nisi 3.2
Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1;x2;:::;xn adalah pengurutan dari
sub-himpunan dengan r anggota dari himpunan fx1;x2;:::;xng. Banyaknya
permutasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan P(n;r).
Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Permutasi-3 dari huruf ABCDE adalah
2
ABC ABD ABE ACB ACD ACE
ADB ADC ADE AEB AEC AED
BAC BAD BAE BCA BCD BCE
BDA BDC BDE BEA BEC BED
CAB CAD CAE CBA CBD CBE
CDA CDB CDE CEA CEB CED
DAB DAC DAE DBA DBC DBE
DCA DCB DCE DEA DEB DEC
EAB EAC EAD EBA EBC EBD
ECA ECB ECD EDA EDB EDC
Sehingga banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
P(n;r) =
n!
(n r)!
Bukti.
Asumsikan bahwa permutasi-r dari n unsur yang berbeda merupakan akti- tas yang terdiri dari r langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah
memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah ke-dua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n 1 cara
karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai
pada langkah ke-r yang bisa dilakukan dengan n r + 1 cara. Berdasarkan
Prinsip Perkalian, diperoleh
n(n 1)(n 2):::(n r + 1) =
n(n 1)(n 2):::2:1
(n r)(n r 1):::2:1
=
n!
(n r)!
Jadi P(n;r) = n!
(n r)! . 2
Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang
berbeda, misalnya ABCDE.
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
P(5;3) =
5!
(5 3)!
=
5!
2!
= 5:4:3 = 60
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
3
3.2. Kombinasi
Berbeda dengan permutasi yang urutan menjadi pertimbangan, pada kom-binasi urutan tidak dipertimbangkan. Misalnya pemilihan 3 orang untuk
mewakili kelompak 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) dalam
mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan
karena tidak ada bedanya antara Dedi, Eka dan Feri dengan Eka, Dedi dan
Feri. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5
orang yang ada, diperoleh:
fDedi,Eka,Ferig fDedi,Eka,Ganig fDedi,Eka,Harig
fDedi,Feri,Ganig fDedi,Feri,Harig fDedi,Gani,Harig
fEka,Feri,Ganig fEka,Feri,Hadig fEka,Gani,Harig
fFeri,Gani,Harig
Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada.
Selanjutnya kita dapat mende nisikan kombinasi secara formal seperti di
bawah ini.
De nisi 3.3
Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1;x2;:::;xn adalah seleksi tak teru-rut r anggota dari himpunan fx1;x2;:::;xng (sub-himpunan dengan r un-sur). Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan
C(n;r) atau (n
r).
Contoh 3.6
Tentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Kombinasi-3 dari huruf ABCDE adalah
ABC ABD ABE ACD ACE
ADE BCD BCE BDE CDE
Sehingga banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10.
Teorema 3.3
Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
C(n;r) =
n!
(n r)!:r!
Bukti.
Pembuktian dilakukan dengan menghitung permutasi dari n unsur yang
berbeda dengan cara berikut ini.
4
Langkah pertama adalah menghitung kombinasi-r dari n, yaitu C(n;r).
Langkah kedua adalah mengurutkan r unsur tersebut, yaitu r!. Dengan
demikian,
P(n;r) = C(n;r):r!
C(n;r) =
P(n;r)
r!
=
n!=(n r)!
r!
=
n!
(n r)!r!
seperti yang diinginkan. 2
Contoh 3.7
Gunakan Teorema 3.3 untuk menentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang
berbeda, misalnya ABCDE.
Karena r = 3 dan n = 5 maka kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
C(5;3) =
5!
(5 3)!:3!
=
5!
2!:3!
=
5:4
2
= 5:2 = 10
Jadi banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10.
Contoh 3.8
Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari
6 orang
Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak
terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang terse-dia. Sehingga dengan mengunakan Teorema 3.3 dimana n = 6 dan r = 4
diperoleh:
C(6;4) =
6!
(6 4)!:4!
=
6!
2!:4!
=
6:5
2
= 3:5 = 15
Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4
orang bisa dipilih dari 6 orang.
Contoh 3.9
Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 ma-hasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi?
5
Pertamai, memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada, yaitu:
C(5;2) =
5!
(5 2)!:2!
=
5!
3!:2!
=
5:4
2
= 5:2 = 10
Kedua, memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi yang ada, yaitu:
C(6;3) =
6!
(6 3)!:3!
=
6!
3!:3!
=
6:5:4
3:2
= 5:4 = 20
Sehingga terdapat 10:20 = 200 cara untuk membentuk sebuah panitia yang
terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa
dan 6 mahasiswi?
3.3. Generalisasi Permutasi
Kalau pada pembahasan permutasi sebelumnya unsur-unsur yang diurutkan
berbeda, pada bagian ini akan dibahas permutasi yang digeneralisasikan den-gan membolehkan pengulangan unsur-unsur yang akan diurutkan, dengan
kata lain unsur-unsurnya boleh sama.
Misalkan kita akan mengurutkan huruf-huruf dari kata KAKIKUKAKU.
Karena huruf-huruf pada kata tersebut ada yang sama, maka banyaknya
permutasi bukan 10!, tetapi kurang dari 10!.
Untuk mengurutkan 10 huruf pada kata KAKIKUKAKU dapat dilakukan
dengan cara:
Asumsikan masalah ini dengan tersedianya 10 posisi kosong yang akan
diisi dengan huruf-huruf pada kata KAKIKUKAKU.
Pertama menempatkan 5 huruf K pada 10 posisi kosong, yang dapat
dilakukan dalam C(10;5) cara.
Setelah 5 huruf K ditempatkan, maka terdapat 10 5 = 5 posisi kosong.
Berikutnya adalah menempatkan 2 huruf A pada 5 posisi kosong, yang
dapat dilakukan dalam C(5;2) cara.
Begitu 2 huruf A ditempatkan, terdapat C(3;2) cara untuk menem-patkan 2 huruf U pada 3 posisi kosong yang ada.
Akhirnya terdapat C(1;1) cara untuk menempatkan 1 huruf I pada 1
posisi kosong yang tersisi.
6
Dengan menggunakan Prinsip Perkalian diperoleh
C(10;5):C(5;2):C(3;2):C(1;1) =
10!
5!:5!
:
5!
2!:3!
:
3!
2!:1!
:
1!
1!:0!
=
10!
5!:2!:2!:1!
=
10:9:8:7:6
2:2
= 7560
Jadi banyaknya cara untuk mengurutkan huruf-huruf dari kata KAKIKUKAKU
adalah 7560.
Secara umum banyaknya permutasi dari obyek yang mempunyai beberapa
unsur sama dapat dijabarkan seperti pada teorema berikut ini.
Teorema 3.4
Misalkan X merupakan sebuah barisan yang mempunyai n unsur, dimana
terdapat n1 unsur yang sama untuk jenis 1, n2 unsur yang sama untuk jenis
2 dan seterusnya sampai nt unsur yang sama untuk jenis t. Banyaknya
permutasi dari barisan X adalah
n!
n1!:n2!:::nt!
Bukti.
Untuk menempatkan posisi n1 unsur yang sama untuk jenis 1 pada n
posisi yang tersedia dapat dilakukan dengan C(n;n1) cara.
Setelah n1 unsur ditempatkan, maka terdapat n n1 posisi yang terse-dia, sehingga untuk menempatkan posisi n2 unsur yang sama untuk
jenis 2 pada n n1 posisi yang tersedia dapat dilakukan dengan C(n
n1;n2) cara.
Demikian seterusnya sampai pada nt unsur yang sama untuk jenis t
yang bisa dilakukan dengan C(n n1 n2 ::: nt 1;nt) cara.
Dengan menggunakan Prinsip Perkalian dapat diperoleh
C(n;n1):C(n n1;n2):C(n n1 n2;n3):::C(n n1 n2 ::: nt 1;nt)
=
n!
n1!(n n1)!
:
(n n1)!
n2!(n n1 n2)!
:::
n n1 n2 ::: nt 1
nt!:0!
=
n!
n1!:n2!:::nt!
7
2
Contoh 3.10
Gunakan Teorema 3.4 untuk menentukan banyaknya cara menyusun huruf-huruf dari kata KAKIKUKAKU
Diketahui n = 10, n1 = 5, n2 = 2, n3 = 2 dan n4 = 1. Dengan menggunakan
Teorema 3.4, diperoleh
10!
5!:2!:2!:1!
=
10:9:8:7:6
2:2
= 7560
3.4. Generalisasi Kombinasi
Generalisasi kombinasi merupakan perluasan dari kombinasi yang membolehkan
pengulangan suatu unsur. Misalnya kita ingin memilih 4 kelereng dari se-buah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing
warna yaitu merah, biru dan kuning. Kemungkinan terpilihnya 4 kelereng
tersebut adalah
f4 merahg f3 merah, 1 birug
f2 merah, 2 birug f1 merah, 3 birug
f3 merah, 1 kuningg f2 merah, 2 kuningg
f1 merah, 3 kuningg f4 birug
f3 biru, 1 kuningg f2 biru, 2 kuningg
f1 biru, 3 kuningg f4 kuningg
f2 merah, 1 biru, 1 kuningg f1 merah, 2 biru, 1 kuningg
f1 merah, 1 biru, 2 kuningg
Sehingga terdapat 15 kemungkinan terpilihnya 4 kelereng tersebut.
Permasalahan di atas dapat kita nyatakan sebagai seleksi dari 4+3-1 simbol
yang terdiri dari 4 simbol o sebagai kelereng dan 3 1 simbol k sebagai
pemisah kelereng yang berbeda warna. Selanjutnya kita menentukan posisi
dari simbol-simbol tersebut, yaitu:
8
Merah Biru Kuning
oooo k k
ooo k o k
oo k oo k
o k ooo k
ooo k k o
oo k k oo
o k k ooo
k oooo k
k ooo k o
k oo k oo
k o k ooo
k k oooo
oo k o k o
o k oo k o
o k o k oo
Dari seleksi diperoleh 15 kemungkinan pengaturan simbol-simbol tersebut.
Secara umum permasalahan diatas dapat disajikan dalam teorema berikut
ini.
Teorema 3.5
Jika X merupakan sebuah himpunan yang mempunyai t unsur dimana pen-gulangan diperbolehkan, maka banyaknya seleksi k unsur tak terurut dari X
adalah
C(k + t 1;t 1) = C(k + t 1;k)
Bukti.
Misalkan X = fx1;x2;:::;xtg. Asumsikan bahwa terdapat k+ t 1 slot yang
akan diisi oleh k+ t 1 simbol yang terdiri dari k simbol o dan t 1 simbol k.
Penempatan simbol-simbol pada slot tertentu merupakan representasi dari
proses seleksi. Bilangan n1 dari simbol o hingga simbol k yang pertama
merepresentasikan seleksi dari n1x1; bilangan n2 dari simbol o dari simbol
k yang pertama hingga simbol k yang kedua merepresentasikan seleksi dari
n2x2; dan seterusnya sampai seleksi dari ntxt. Karena terdapat C(k + t
1;t 1) cara untuk menentukan posisi simbol k, maka juga terdapat C(k +
t 1;t 1) seleksi. Hal ini juga sama dengan C(k + t 1;k) cara untuk
menentukan posisi simbol o. Sehingga terdapat
C(k + t 1;t 1) = C(k + t 1;k)
seleksi k-unsur tak terurut dari X dimana pengulangan diperbolehkan. 2
9
Contoh 3.11
Gunakan Teorema 3.5 untuk menentukan banyaknya cara memilih 4 kelereng
dari sebuah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah, biru dan kuning.
Karena ada 3 warna kelereng dan 4 kelereng akan dipilih, maka t = 3 dan
k = 4. Sehingga banyaknya cara pemilihan 4 kelereng adalah:
C(4 + 3 1;3 1) =
6!
(6 2)!:2!
=
6:5
2
= 15
Contoh 3.12
Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan
x1 + x2 = 10
Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10 butir
xi dari jenis i, i = 1;2. Sehingga banyaknya seleksi adalah
C(10 + 2 1;2 1) = C(11;1) = 11
Latihan
3.1. Berapa banyak untai yang bisa dibentuk dengan mengurutkan huruf
ABCDE jika :
a. mengandung subuntai ACE.
b. mengandung huruf ACE dalam sembarang urutan.
c. A muncul sebelum D (misalnya BCADE, BCAED).
d. tidak mengandung subuntai AB atau CD.
3.2. Dalam berapa banyak cara 5 mahasiswa dan 7 mahasiswi dapat berbaris
jika tidak boleh ada 2 mahasiswa yang berdekatan?
3.3. Dalam berapa banyak cara 5 mahasiswa dan 7 mahasiswi dapat duduk
di meja mundar jika tidak boleh ada 2 mahasiswa yang berdekatan?
3.4. Sebuah kelompok terdiri dari 6 mahasiswa dan 7 mahasiswi. Ada be-rapa cara kita bisa memilih panitia yang terdiri dari:
a. 3 mahasiswa dan 4 mahasiswi.
b. 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswi.
10
c. 4 orang paling sedikitnya 1 mahasiswa.
d. 4 orang dimana jumlah mahasiswa sama dengan mahasiswi.
3.5. Tentukan banyaknya kemungkinan lima kartu (tak terurut) yang dipilih
dari 52 kartu jika:
a. mengandung 4 As.
b. mengandung 4 kartu dari nilai yang sama.
c. mengandung semua spade.
d. mengandung kartu dari semua rupa.
3.6. Dalam berapa banyak cara 10 buku yang berbeda dapat dibagikan
pada 3 mahasiswa jika mahasiswa pertama mendapatkan 5 buku, ma-hasiswa kedua mendapatkan 3 buku dan mahasiswa ketiga mendap-atkan 2 buku?
3.7. Misalkan terdapat kumpulan bola yang berwarna merah, biru dan hijau
yang masing-masing mengandung paling sedikitnya 10 bola.
a. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih?
b. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika paling sedikit 1 bola
merah harus terpilih?
c. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika paling sedikit 1 bola
merah, paling sedikit 2 bola biru dan paling sedikit 3 bola hijau
harus terpilih?
d. berapa banyak cara 10 bola bisa dipilih jika tepat 1 bola merah
dan paling sedikit 1 bola biru harus terpilih?
3.8. Carilah banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan
x1 + x2 + x3 = 15
jika:
a. x1 0, x2 0 dan x3 0.
b. x1 1, x2 1 dan x3 1.
c. x1 = 1, x2 0 dan x3 0.
Referensi
2.1. R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Fourth Edition, 1997, Pren-tice Hall.
11 www.belajar-matematika.com - 1
BAB III. PERSAMAAN DAN
FUNGSI KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk Umum:
ax2
+ bx + c = 0 ; a ≠0
Pengertian:
x = α adalah akar-akar persamaan
ax2
+ bx + c = 0 ⇔ aα2
+ bα + c = 0
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat:
1. Memfaktorkan:
ax2
+ bx + c = 0 diuraikan menjadi
(x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 atau diubah menjadi
bentuk a
1 (ax + p) (ax + q)
dengan p + q = b dan pq = ac
dengan demikian diperoleh
x 1 = -
a
p dan x 2 = -
a
q
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
(mempunyai akar yang sama)
( x ± p) 2
= x 2
± 2p + p 2
3. Menggunakan rumus abc
2,1x = a
acbb
2
42 −±−
Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Menggunakan Diskriminan (D)
D = b 2
- 4ac
1. D > 0
Kedua akar nyata dan berlainan (x 1 ≠ x 2 )
2. D = 0
Mempunyai akar yang sama (x 1 = x 2 )
3. D < 0
akar tidak nyata
4. D = k 2
; k 2
= bilangan kuadrat sempurna
kedua akar rasional
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar:
ax2
+ bx + c = 0
x 1 + x 2 = -
a
b dan x 1 . x 2 =
a
c
Rumus-rumus yang lain:
1 x 1 - x 2 =
a
D
2. x 1
2
+ x 2
2
= (x 1 + x 2 )2
– 2 x 1 x 2
3. x 1
2
- x 2
2
= (x 1 - x 2 ) (x 1 + x 2 )
4. x 1
3
+ x 2
3
= (x 1 + x 2 )3
– 3 (x 1 x 2 ) (x 1 + x 2 )
5. x 1
3
- x 2
3
= (x 1 - x 2 )3
– 3 (x 1 x 2 ) (x 1 - x 2 )
6.
1
1
x
+
2
1
x
=
21
21
xx
xx +
Menyusun Persamaan Kuadrat
Rumus Persamaan Kuadrat yang akar-akarnya x 1 dan x 2
adalah:
x2
– (x 1 + x 2 )x
+ x 1 x 2 = 0
www.belajar-matematika.com - 2
FUNGSI KUADRAT
Bentuk Umum:
f(x) = ax2
+ bx + c dengan a 0≠ dan a,b,c∈ R
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
1. Tentukan titik potong dengan sumbu x
(y = 0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y
(x = 0 )
3. Tentukan titik puncak/Ekstrim :
yaitu ⎜
⎝
⎛−
a
b
2
, -
a
acb
4
42
−
⎟
⎠
⎞
4. a. Apabila a > 0 grafik terbuka ke atas
b. Apabila a < 0 grafik terbuka ke bawah
Kedudukan Garis r terhadap grafik fungsi
kuadrat:
1. D > 0
Berpotongan di dua titik
2. D = 0
Menyinggung grafik (mempunyai satu titik
potong)
3. D < 0
Garis tidak menyinggung dan memotong
(terpisah)
Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat:
1. Jika diketahui titik puncak = ( px , py )
gunakan rumus: y = a (x - px ) 2
+ py
2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (y = 0)
yakni (x 1 ,0) dan (x 2 ,0)
Gunakan rumus: y = a (x - 1x ) ( x - 2x )
3. Jika yang diketahui selain poin 2 dan 3 maka
gunakan rumus : y = ax2
+ bx + c
Dari y = ax2
+ bx + c diperoleh :
1. Penyebab ekstrim x = -
a
b
2
2. Nilai ekstrim y eks = -
a
acb
4
42
−
y eks = y min jika a > 0
y eks = y maks jika a < 0
SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri
1. Jika sudut α dan β lancip, cosα =
5
4 dan cos β =
25
24 ,
berapa nilai cos(α- β) ?
Jawab :
* diketahui cosα =
5
4 ; dimana cosα =
r
x
x = 4
r y ⇒ r = 5 5
3
α α
x r = 22
yx + 4
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 9 = 3± karena sudut lancip berada di kuadran 1
maka nilai yang diambil adalah + 3
sehingga sin α =
r
y =
5
3
* diketahui cos β =
25
24 ; dimana cos β =
r
x
2
y = 2
r - 2
x
= 625 – 576
= 49
y = 49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =
r
y =
25
7
Ditanyakan cos(α- β) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi
cos(α- β) = cos α cos β + sin α sin β
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
masukkan nilai-nilai di atas :
=
5
4 .
25
24 +
5
3 .
25
7
=
125
96 +
125
21 =
125
117
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm.
Nilai Cos C adalah…..
Jawab : B
3 (c) 4 (a)
A C
5 (b)
gunakan aturan cosinus
2
c = 2
a + 2
b - 2ab cos C
2 ab cos C = 2
a + 2
b - 2
c
cos C =
ab
cba
2
222
−+
=
5.4.2
354 222
−+ =
40
38 =
20
19
3. Diketahui cos A =
5
4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A ….
Jawab:
berada di kuadran kedua berarti x nya negatif
kuadran I Æ x = + ; y= +
kuadran II Æ x = - ; y = +
kuadran III Æ x = - ; y = -
kuadran IV Æ x = + ; y= -
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
cos A =
5
4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A =
5
4−
5
3
- 4
cos A =
5
4− =
r
x
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 3 Æ sehingga sin A =
r
y =
5
3
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2.
5
3 .
5
4− =
25
24−
4. Bentuk
2
4cos1 x− adalah identik dengan …
Jawab:
2
4cos1 x− =
2
1 -
2
4cos x
=
2
1 -
2
)22cos( xx +
=
2
1 -
2
2sin2sin2cos2cos xxxx −
=
2
1 -
2
2sin2cos 22
xx −
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
2
1 -
2
)2sin21( 2
x−
=
2
1 -
2
1 + x2sin 2
= x2sin 2
5. Jika
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 , maka θ = ……….
jawab :
2
)
sin
cos1(
θ
θ− = 2
)
3
3(
θ
θθ
2
2
sin
coscos21 +− =
3
1
θ
θθ
2
2
cos1
coscos21
−
+− =
3
1 ⇒ 1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 ( 1- θ2
cos )
1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 -
3
1 θ2
cos
3
2 - 2 cosθ +
3
4 θ2
cos = 0
3
4 θ2
cos - 2 cosθ +
3
2 = 0 x 3
4 θ2
cos - 6 cos θ + 2 = 0
pakai rumus ABC :
Anggap cos θ = x
diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2
2,1x = a
acbb
2
42 −±−
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
8
32366 −± ⇒ 1x =
8
26 + = 1 ; 2x =
8
26 − =
2
1
1x = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0
0
2x =
2
1 ⇒ cos θ =
2
1 ; θ = 0
60
Kita masukkan ke dalam persamaan :
θ = 0
0
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
0
11 − = ~ ⇒ tidak memenuhi
θ = 0
60
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
3
2
1
2
11 −
=
3
2
1
2
1
=
3
1 =
3
1 x
3
3 =
3
3 ⇒ memenuhi
Sehingga nilai θ = 0
60
6. Bentuk
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ senilai dengan ….
Jawab :
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ =
)46(
2
1cos)46(
2
1cos2
)46(
2
1cos)46(
2
1sin2
xxxx
xxxx
−+
−+
= tan
2
1 10x = tan 5x
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
Jawab :
untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori
Urutan pemecahannya:
- dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus
atau cosinus (bukan tangen)
- kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1
- kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :
kita lihat pada grafik apabila x = 0
15 menunjukkan nilai y= 0 ;
karena grafik bergeser ke kanan 0
15 maka fungsi yang dipakai adalah 0
)15( −x
(kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai 0
)15( +x )
kalau dimasukkan nilai 0
15 maka 0
)15( −x = 0
0
nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0
0 = 0
fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin 0
)15( −x tetapi karena nilai minimumnya berada
di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin 0
)15( −x .
(di kuadran pertama standarnya adalah positif)
α 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90
Sin 0
2
1 2
1 2 2
1 3 1
Cos 1
2
1 3 2
1 2 2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 0
360 sehingga
persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 0
)15( −x
Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 0
15 , 0
105 dan 0
195
x = 0
15 → y= -sin 2 0
)15( −x = -sin 0
0= 0 Æ benar
x = 0
105 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
180 = - sin( 0
180 - α) →α= 0
0
maka - sin 0
180 = -sin 0
0= 0 Æ benar
Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 0
60
x = 0
60 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
90 = - 1 Æ benar
Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 0
150
x = 0
150 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
270 = - sin( 0
180 +α)= sin α= 1 Æ benar
8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0
0< x < 0
360
Jawab :
sin x + cos x = 0 ⇔ 2
)cos(sin xx + = 2
0
⇔ x2
sin + x2
cos + 2 sin x cos x = 0 ( x2
sin + x2
cos = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x)
⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1
Nilai yang memenuhi adalah 2x = 0
270 → x = 0
135
dan 2x = 0
630 → x = 0
315 (ingat sin (k. 0
360 + α) = sin α)
(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran)
Sehingga HP= { 0
135 , 0
315 }
SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri
1. Jika sudut α dan β lancip, cosα =
5
4 dan cos β =
25
24 ,
berapa nilai cos(α- β) ?
Jawab :
* diketahui cosα =
5
4 ; dimana cosα =
r
x
x = 4
r y ⇒ r = 5 5
3
α α
x r = 22
yx + 4
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 9 = 3± karena sudut lancip berada di kuadran 1
maka nilai yang diambil adalah + 3
sehingga sin α =
r
y =
5
3
* diketahui cos β =
25
24 ; dimana cos β =
r
x
2
y = 2
r - 2
x
= 625 – 576
= 49
y = 49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =
r
y =
25
7
Ditanyakan cos(α- β) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi
cos(α- β) = cos α cos β + sin α sin β
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
masukkan nilai-nilai di atas :
=
5
4 .
25
24 +
5
3 .
25
7
=
125
96 +
125
21 =
125
117
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm.
Nilai Cos C adalah…..
Jawab : B
3 (c) 4 (a)
A C
5 (b)
gunakan aturan cosinus
2
c = 2
a + 2
b - 2ab cos C
2 ab cos C = 2
a + 2
b - 2
c
cos C =
ab
cba
2
222
−+
=
5.4.2
354 222
−+ =
40
38 =
20
19
3. Diketahui cos A =
5
4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A ….
Jawab:
berada di kuadran kedua berarti x nya negatif
kuadran I Æ x = + ; y= +
kuadran II Æ x = - ; y = +
kuadran III Æ x = - ; y = -
kuadran IV Æ x = + ; y= -
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
cos A =
5
4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A =
5
4−
5
3
- 4
cos A =
5
4− =
r
x
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 3 Æ sehingga sin A =
r
y =
5
3
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2.
5
3 .
5
4− =
25
24−
4. Bentuk
2
4cos1 x− adalah identik dengan …
Jawab:
2
4cos1 x− =
2
1 -
2
4cos x
=
2
1 -
2
)22cos( xx +
=
2
1 -
2
2sin2sin2cos2cos xxxx −
=
2
1 -
2
2sin2cos 22
xx −
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
2
1 -
2
)2sin21( 2
x−
=
2
1 -
2
1 + x2sin 2
= x2sin 2
5. Jika
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 , maka θ = ……….
jawab :
2
)
sin
cos1(
θ
θ− = 2
)
3
3(
θ
θθ
2
2
sin
coscos21 +− =
3
1
θ
θθ
2
2
cos1
coscos21
−
+− =
3
1 ⇒ 1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 ( 1- θ2
cos )
1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 -
3
1 θ2
cos
3
2 - 2 cosθ +
3
4 θ2
cos = 0
3
4 θ2
cos - 2 cosθ +
3
2 = 0 x 3
4 θ2
cos - 6 cos θ + 2 = 0
pakai rumus ABC :
Anggap cos θ = x
diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2
2,1x = a
acbb
2
42 −±−
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
8
32366 −± ⇒ 1x =
8
26 + = 1 ; 2x =
8
26 − =
2
1
1x = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0
0
2x =
2
1 ⇒ cos θ =
2
1 ; θ = 0
60
Kita masukkan ke dalam persamaan :
θ = 0
0
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
0
11 − = ~ ⇒ tidak memenuhi
θ = 0
60
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
3
2
1
2
11 −
=
3
2
1
2
1
=
3
1 =
3
1 x
3
3 =
3
3 ⇒ memenuhi
Sehingga nilai θ = 0
60
6. Bentuk
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ senilai dengan ….
Jawab :
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ =
)46(
2
1cos)46(
2
1cos2
)46(
2
1cos)46(
2
1sin2
xxxx
xxxx
−+
−+
= tan
2
1 10x = tan 5x
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
Jawab :
untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori
Urutan pemecahannya:
- dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus
atau cosinus (bukan tangen)
- kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1
- kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :
kita lihat pada grafik apabila x = 0
15 menunjukkan nilai y= 0 ;
karena grafik bergeser ke kanan 0
15 maka fungsi yang dipakai adalah 0
)15( −x
(kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai 0
)15( +x )
kalau dimasukkan nilai 0
15 maka 0
)15( −x = 0
0
nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0
0 = 0
fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin 0
)15( −x tetapi karena nilai minimumnya berada
di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin 0
)15( −x .
(di kuadran pertama standarnya adalah positif)
α 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90
Sin 0
2
1 2
1 2 2
1 3 1
Cos 1
2
1 3 2
1 2 2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 0
360 sehingga
persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 0
)15( −x
Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 0
15 , 0
105 dan 0
195
x = 0
15 → y= -sin 2 0
)15( −x = -sin 0
0= 0 Æ benar
x = 0
105 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
180 = - sin( 0
180 - α) →α= 0
0
maka - sin 0
180 = -sin 0
0= 0 Æ benar
Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 0
60
x = 0
60 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
90 = - 1 Æ benar
Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 0
150
x = 0
150 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
270 = - sin( 0
180 +α)= sin α= 1 Æ benar
8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0
0< x < 0
360
Jawab :
sin x + cos x = 0 ⇔ 2
)cos(sin xx + = 2
0
⇔ x2
sin + x2
cos + 2 sin x cos x = 0 ( x2
sin + x2
cos = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x)
⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1
Nilai yang memenuhi adalah 2x = 0
270 → x = 0
135
dan 2x = 0
630 → x = 0
315 (ingat sin (k. 0
360 + α) = sin α)
(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran)
Sehingga HP= { 0
135 , 0
315 }
SMA - 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri
1. Jika sudut α dan β lancip, cosα =
5
4 dan cos β =
25
24 ,
berapa nilai cos(α- β) ?
Jawab :
* diketahui cosα =
5
4 ; dimana cosα =
r
x
x = 4
r y ⇒ r = 5 5
3
α α
x r = 22
yx + 4
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 9 = 3± karena sudut lancip berada di kuadran 1
maka nilai yang diambil adalah + 3
sehingga sin α =
r
y =
5
3
* diketahui cos β =
25
24 ; dimana cos β =
r
x
2
y = 2
r - 2
x
= 625 – 576
= 49
y = 49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =
r
y =
25
7
Ditanyakan cos(α- β) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi
cos(α- β) = cos α cos β + sin α sin β
SMA - 2
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
masukkan nilai-nilai di atas :
=
5
4 .
25
24 +
5
3 .
25
7
=
125
96 +
125
21 =
125
117
2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm.
Nilai Cos C adalah…..
Jawab : B
3 (c) 4 (a)
A C
5 (b)
gunakan aturan cosinus
2
c = 2
a + 2
b - 2ab cos C
2 ab cos C = 2
a + 2
b - 2
c
cos C =
ab
cba
2
222
−+
=
5.4.2
354 222
−+ =
40
38 =
20
19
3. Diketahui cos A =
5
4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A ….
Jawab:
berada di kuadran kedua berarti x nya negatif
kuadran I Æ x = + ; y= +
kuadran II Æ x = - ; y = +
kuadran III Æ x = - ; y = -
kuadran IV Æ x = + ; y= -
SMA - 3
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
cos A =
5
4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A =
5
4−
5
3
- 4
cos A =
5
4− =
r
x
2
r = 22
yx +
2
y = 2
r - 2
x
= 25 – 16
= 9
y = 3 Æ sehingga sin A =
r
y =
5
3
sin 2A = 2 sin A cos A
= 2.
5
3 .
5
4− =
25
24−
4. Bentuk
2
4cos1 x− adalah identik dengan …
Jawab:
2
4cos1 x− =
2
1 -
2
4cos x
=
2
1 -
2
)22cos( xx +
=
2
1 -
2
2sin2sin2cos2cos xxxx −
=
2
1 -
2
2sin2cos 22
xx −
SMA - 4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
2
1 -
2
)2sin21( 2
x−
=
2
1 -
2
1 + x2sin 2
= x2sin 2
5. Jika
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 , maka θ = ……….
jawab :
2
)
sin
cos1(
θ
θ− = 2
)
3
3(
θ
θθ
2
2
sin
coscos21 +− =
3
1
θ
θθ
2
2
cos1
coscos21
−
+− =
3
1 ⇒ 1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 ( 1- θ2
cos )
1 – 2 cosθ + θ2
cos =
3
1 -
3
1 θ2
cos
3
2 - 2 cosθ +
3
4 θ2
cos = 0
3
4 θ2
cos - 2 cosθ +
3
2 = 0 x 3
4 θ2
cos - 6 cos θ + 2 = 0
pakai rumus ABC :
Anggap cos θ = x
diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2
2,1x = a
acbb
2
42 −±−
SMA - 5
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
=
8
32366 −± ⇒ 1x =
8
26 + = 1 ; 2x =
8
26 − =
2
1
1x = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0
0
2x =
2
1 ⇒ cos θ =
2
1 ; θ = 0
60
Kita masukkan ke dalam persamaan :
θ = 0
0
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
0
11 − = ~ ⇒ tidak memenuhi
θ = 0
60
θ
θ
sin
cos1 − =
3
3 ⇒
3
2
1
2
11 −
=
3
2
1
2
1
=
3
1 =
3
1 x
3
3 =
3
3 ⇒ memenuhi
Sehingga nilai θ = 0
60
6. Bentuk
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ senilai dengan ….
Jawab :
xx
xx
4cos6cos
4sin6sin
+
+ =
)46(
2
1cos)46(
2
1cos2
)46(
2
1cos)46(
2
1sin2
xxxx
xxxx
−+
−+
= tan
2
1 10x = tan 5x
SMA - 6
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :
Jawab :
untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori
Urutan pemecahannya:
- dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus
atau cosinus (bukan tangen)
- kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1
- kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :
kita lihat pada grafik apabila x = 0
15 menunjukkan nilai y= 0 ;
karena grafik bergeser ke kanan 0
15 maka fungsi yang dipakai adalah 0
)15( −x
(kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai 0
)15( +x )
kalau dimasukkan nilai 0
15 maka 0
)15( −x = 0
0
nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0
0 = 0
fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin 0
)15( −x tetapi karena nilai minimumnya berada
di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin 0
)15( −x .
(di kuadran pertama standarnya adalah positif)
α 0
0 0
30 0
45 0
60 0
90
Sin 0
2
1 2
1 2 2
1 3 1
Cos 1
2
1 3 2
1 2 2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
SMA - 7
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 0
360 sehingga
persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 0
)15( −x
Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 0
15 , 0
105 dan 0
195
x = 0
15 → y= -sin 2 0
)15( −x = -sin 0
0= 0 Æ benar
x = 0
105 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
180 = - sin( 0
180 - α) →α= 0
0
maka - sin 0
180 = -sin 0
0= 0 Æ benar
Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 0
60
x = 0
60 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
90 = - 1 Æ benar
Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 0
150
x = 0
150 → y= -sin 2 0
)15( −x = - sin 0
270 = - sin( 0
180 +α)= sin α= 1 Æ benar
8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0
0< x < 0
360
Jawab :
sin x + cos x = 0 ⇔ 2
)cos(sin xx + = 2
0
⇔ x2
sin + x2
cos + 2 sin x cos x = 0 ( x2
sin + x2
cos = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x)
⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1
Nilai yang memenuhi adalah 2x = 0
270 → x = 0
135
dan 2x = 0
630 → x = 0
315 (ingat sin (k. 0
360 + α) = sin α)
(dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran)
Sehingga HP= { 0
135 , 0
315 }
MAT. 09. Trigonometri 1
MAT. 09. Trigonometri 2
Trigonometri
SUDUT SIN COS TAN
00 0 1 0
300
2
1
2
1
3
3
1
3
450
2
1
2
2
1
2 1
600
2
1
3
2
1
3
900 1 0 ?
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004
Kode MAT.09
MAT. 09. Trigonometri 3
Trigonometri
Penyusun:
Drs. Mega Teguh B., M.Pd.
Editor:
Dr. Manuharawati, MSi.
Dra. Kusrini, M.Pd.
Kode MAT.09
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004
MAT. 09. Trigonometri 4
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual
untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan
Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran
berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi
2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based
Training).
Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul,
baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar
Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri.
Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh
peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan
dunia kerja dan industri.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari
penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian
disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan
empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta
diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan
sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi
kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain
dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan
selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya
selalu relevan dengan kondisi lapangan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya
dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan
dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak
MAT. 09. Trigonometri 5
berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang
sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul
(penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas
dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan
penyusunan modul ini.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang
psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai
bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para
pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas,
dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri
dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali
kompetensi yang terstandar pada peserta diklat.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,
khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran
Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul
pembelajaran untuk SMK.
Jakarta, Desember 2004
a. n. Direktur Jenderal Pendidikan
Dasar dan Menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,
Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc.
NIP 130 675 814
MAT. 09. Trigonometri 6
DAFTAR ISI
? Halaman Sampul .......................................................................... 1
? Halaman Francis .......................................................................... 2
? Kata Pengantar ............................................................................ 3
? Daftar Isi …… .............................................................................. 5
? Peta Kedudukan Modul.................................................................. 7
? Daftar Judul Modul ...................................................................... 8
? Glosary ……................................................................................ 9
I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi ............................................................................... 10
B. Prasyarat ............................................................................... 10
C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 10
D. Tujuan Akhir ........................................................................... 10
E. Kompetensi............................................................................. 11
F. Cek Kemampuan ..................................................................... 12
II. PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Peserta Diklat .................................................. 14
B. Kegiatan Belajar ...................................................................... 15
1. Kegiatan Belajar 1............................................................... 16
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 16
b. Uraian Materi................................................................. 16
c. Rangkuman................................................................... 36
d. Tugas ........................................................................... 37
e. Kunci Jawaban Tugas ..................................................... 38
f. Tes Formatif.................................................................. 40
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 41
2. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 19
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 19
b. Uraian Materi................................................................. 19
c. Rangkuman................................................................... 31
d. Tugas ........................................................................... 32
e. Tes Formatif.................................................................. 33
f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 34
MAT. 09. Trigonometri 7
3. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 44
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 44
b. Uraian Materi................................................................. 44
c. Rangkuman................................................................... 64
d. Tugas ........................................................................... 65
e. Kunci Jawaban Tugas ..................................................... 65
f. Tes Formatif.................................................................. 67
g. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 68
III. EVALUASI ............................................................................... 71
KUNCI EVALUASI ...................................................................... 72
IV. PENUTUP ............................................................................... 75
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 76
MAT. 09. Trigonometri 8
PETA KEDUDUKAN MODUL
MAT.10
MAT.15
MAT.01
MAT.03
MAT.02
MAT.05
MAT.07 MAT.08
MAT.09
MAT.11
MAT.12
MAT.14
MAT.06
MAT.04
MAT.13
MAT.16
MAT. 09. Trigonometri 9
Daftar Judul Modul
No. Kode Modul Judul Modul
1 MAT.01 Matrik
2 MAT.02 Logika Matematika
3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan
4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua
5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi
6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga
7 MAT.07 Peluang
8 MAT.08 Bilangan Real
9 MAT.09 Trigonometri
10 MAT.10 Irisan Kerucut
11 MAT.11 Statistika
12 MAT.12 Barisan
13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan
14 MAT.14 ProgramLinier
15 MAT.15 Vektor
16 MAT.16 Matematika Keuangan
MAT. 09. Trigonometri 10
Glossary
ISTILAH KETERANGAN
Trigonometri Metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, khususnya
dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Trigonometri Merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk
menghitung ketinggian suatu tempat tanpa
mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih
praktis dan efisien.
Trigonometri Cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila
ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada
segitiga tersebut.
Perbandingan sinus dari
sudut ? ditulis sin ? CF
CD
=
CG
CE
=
CA
CF
=
CB
CG
?
CE
CD
=
CG
CF
=
CB
CA
=
segitigamiringsisi
sudutdepandisikusikusisi ??
Perbandingan cosinus dari
sudut ? ditulis cos ?
CF
CD
=
CG
CE
=
FG
DE
=
AB
FG
?
CE
DC
=
CG
CF
=
CB
AB
=
segitigamiringsisi
sudutsampingdisikusikusisi ??
Perbandingan tangen dari
sudut ? ditulis tan ? CE
CD
=
FG
CF
=
CB
CA
=
segitigamiringsisi
sudutdepandisikusikusisi ??
Koordinat cartesius Suatu sistem koordinat yang menggunakan dua garis
lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di
mana dua garis yang dimaksud adalah sumbu X dan
sumbu Y, serta perpotongan kedua titik itu adalah
titik asal. Koordinat cartesius sering disebut dengan
koordinat siku-siku.
Koordinat kutub Suatu koordinat yang menggunakan sebuah sinar
garis sebagai patokan muka dalam menentukan
kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana titik
pangka l sinar garis itu sebagai kutub atau titik asal
dan sinar garis itu sendiri sebagai sumbu kutub.
MAT. 09. Trigonometri 11
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri
(sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan
nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep
koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub,
aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus,
rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga, rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut seperti: Sin (? + ? ), Cos (? + ? ) dan Tan ? , penggunaan
rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut. Di samping itu anda juga
mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan
trigonometri.
B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah
mempelajari fungsi dan polinom, persamaan serta kesebangunan dua
segitiga. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul relasi dan
fungsi, persamaan dan pertidaksamaan dan geometri datar dan ruang.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah
sebagai berikut.
1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan
skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya
dengan modul-modul yang lain.
MAT. 09. Trigonometri 12
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,
2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,
4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,
6. Menentukan luas segitiga,
7. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut,
8. Menyelesaikan persamaan trigonometri,
9. Rumus.
MAT. 09. Trigonometri 13
E. Kompetensi
KOMPETENSI : TRIGONOMETRI
PROGRAM KEAHLIAN : program adaptif
MATA DIKLAT/KODE : MATEMATIKA/MAT 09
DURASI PEM BELAJARAN : 40 Jam @ 45 menit
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
1. Menentukan dan
menggunakan nilai
perbandingan
trigonometri suatu
sudut.
? Perbandingan trigonometri
suatu sudut ditentukan dari
sisi-sisi segitiga siku-siku.
? Perbandingan trigonometri
dipergunakan dalam
menentukan panjang sisi dan
besar sudut segitiga siku-siku.
? Sudut-sudut diberbagai
kuadran ditentukan nilai
perbandingan
trigonometrinya.
? Perbandingan trigonometri.
? Panjang sisi dan besar sudut
segitiga siku-siku.
? Perbandingan trigonometri di
berbagai kuadran.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Perbandingan
trigonometri (sinus,
cosinus, tangen).
? Penggunaan
perbandingan
trigonometri.
? Penentuan nilai
perbandingan
trigonometri di berbagai
kuadran.
2. Mengkonversi
koordinat cartesius
dan kutub
? Koordinat cartesius dan
koordinat kutub dibedakan
sesuai pengertiannya.
? Koordinat cartesius dikonversi
ke koordinat kutub atau
sebaliknya sesuai prosedur
dan rumus yang berlaku.
? Koordinat cartesius dan
kutub.
? Konversi koordinat cartesius
dan kutub.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Penjelasan konsep
koordinat cartesius dan
kutub.
? Pengkonversian koordinat
cartesius dan kutub.
? Menghitung panjang sisi
dan besar sudut segitiga
siku-siku.
? Menggambar letak titik
pada koordinat cartesius
dan kutub.
3. Menggunakan
aturan sinus dan
cosinus
? Aturan sinus digunakan untuk
menentukan panjang sisi atau
besar sudut pada suatu
segitiga.
? Aturan cosinus digunakan
untuk menentukan panjang
sisi atau besar sudut pada
suatu segitiga.
? Penggunaan aturan sinus.
? Penggunaan aturan cosinus.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri
? Aturan sinus dan cosinus.
? Penggunaan aturan
sinus.
? Penggunaan aturan
cosinus.
? Menerapkan aturan sinus
dan cosinus.
? Menrapkan rumus luas
segitiga.
MAT. 09. Trigonometri 14
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
4. Menentukan luas
suatu segitiga
? Luas segitiga dihitung dengan
menggunakan rumus luas
segitiga
? Rumus luas segitiga.
? Penentuan luas segitiga.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Rumus luas segitiga
? Penentuan luas segitiga
5. Menggunakan
rumus trigonometri
jumlah dan selisih
dua sudut
? Rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut
digunakan untuk
menyelesaikan soal-soal yang
terkait.
? Rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut.
? Penggunaan rumus
trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Rumus trigonometri
jumlah dan selisih dua
sudut seperti:
- sin ?? +?? )
- cos ?? -?? )
- tan 2?
? Penggunaan rumus
trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
6. Menyelesaikan
persamaan
trigonometri
? Persamaan trigonometri
dihitung penyelesaiannya.
? Bentuk-bentuk persamaan
trigonometri.
? Teliti dan cermat dalam
menyelesaikan masalah
trigonometri.
? Identitas trigonometri,
seperti:
- Sin2 x + cos2 x = 1
? Bentuk-bentuk
persamaan trigonometri
seperti:
- sin x = a
- cos px = a
- a cos x + b sin x = c
? Menyelesaikan soal-soal
dengan menggunakan
rumus trigonometri
jumlah selisih dua sudut.
? Menerapkan bentuk-bentuk persamaan
trigonometri.
MAT. 09. Trigonometri 15
F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini. Jika anda merasa dapat mengerjakan
semua soal berikut ini, maka anda dapat langsung mengerjakan soal-soal
Evaluasi pada BAB III. Atau jika anda telah merasa dapat mengerjakan
sebagian soal-soal pada bagian yang telah anda kuasai dengan bantuan guru
maka mintalah untuk mengerjakan evaluasi pada materi yang anda kuasai.
1. Hitung nilai cos a dan sin a, jika tg a = 1
2. Sebuah tangga disandarkan tembok vertikal. Sudut yang dibentuk oleh
tangga dan lantai adalah 45 derajat, hitunglah panjang tembok dari alas
sampai tangga jika panjang tangga 4 m.
3. Tentukan koordinat kutub dari suatu titik jika koordinat Cartesiusnya (3,4)
4. Tentukan koordinat Cartesius dari titik (5,p )
5. Tuliskan aturan sinus dan aturan cosinus pada suatu segitiga.
6. Hitung dengan menggunakan rumus jumlah atau rumus selisih sin 75
7. Selesaikan sin x = ½
8. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga siku-siku), buktikan bahwa tan A + tan B + tan C=tanA tan B tan C!.
MAT. 09. Trigonometri 16
BAB II. PEMBELAJARAN
Kompetensi : Menerapkan Trigonometri.
Sub Kompetensi : 1. Menentukan dan menggunakan nilai perbandingan
trigonometri suatu sudut.
2. Mengkonversi koordinat cartesius dan kutub.
3. Menggunakan aturan sinus dan cosinus.
4. Menentukan luas suatu segitiga.
5. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut.
6. Menyelesaikan persamaan trigonometri.
Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di
bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya
kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda.
Jenis
Kegiatan
Tanggal Waktu Tempat
Belajar
Alasan
perubahan
Tandatangan
Guru
A. Rencana Belajar Peserta Diklat
MAT. 09. Trigonometri 17
1. Kegiatan Belajar 1
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
? Memahami pengertian perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen).
? Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai
perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.
? Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius
dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartesius dan kutub.
? Memahami dan mampu menerapkan aturan sinus dan cosinus.
? Menemukan rumus segitiga melalui perbandingan trigonometri serta
menggunakan rumus tersebut untuk menentukan luas segitiga.
b. Uraian Materi
Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan
pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu
tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan
efisien.
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah
kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi
(segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas,
trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang
mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau
dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam
mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga
B. Kegiatan Belajar
MAT. 09. Trigonometri 18
itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900) artinya segitiga itu tidak lain
adalah segitiga siku-siku.
1) Perbandingan Trigonometri (Sinus, Cosinus Dan Tangen)
Misalkan diketahui ? ABC merupakan segitiga siku-siku di A. Titik D
dan F terletak pada ruas garis AC dimana D ? F ? A ? C, titik E dan G
terletak pada ruas garis BC dimana E ? G ? B ? C, sedemikian hingga DE //
FG // AB . Untuk lebih jelasnya coba diperhatikan gambar di bawah ini:
Pandang ? ABC, ? FGC dan ? CDE
m? ACB = m ? FCG = m? DEC….(Berimpit)
m? BAC = m ? GFC = m? EDC….(900)
m? ABC = m? FGC = m? DEC ….(Dua sudut
lain yang bersesuaian sama besar)
sehingga menyebabkan:
? ABC ? ? FGC ? ? CDE
Akibatnya: sisi-sisi yang bersesuaian
perbandingannya selalu dan tetap.
1.
CF
CD
=
CG
CE
=
CA
CF
=
CB
CG
?
CE
CD
=
CG
CF
=
CB
CA
=
segitigamiringsisi
sudutdepandisikusikusisi ??
Perbandingan ini disebut sinus dari sudut ? ditulis sin ?
2.
CF
CD
=
CG
CE
=
FG
DE
=
AB
FG
?
CE
DC
=
CG
CF
=
CB
AB
=
segitigamiringsisi
sudutsampingdisikusikusisi ??
Perbandingan ini disebut cosinus dari sudut ? ditulis cos ?
3.
CE
CD
=
FG
CF
=
CB
CA
=
segitigamiringsisi
sudutdepandisikusikusisi ??
Perbandingan ini disebut tangen dari sudut ? ditulis tan ?
A B
F G
D E
C
MAT. 09. Trigonometri 19
Selain tiga perbandingan di atas, disepakati juga perbandingan
kebalikan yaitu cotangen, secan, dan cosecan yang secara berurutan
disingkat ctg, sec dan cosec (csc) dengan ketentuan sebagai berikut:
Dari uraian di atas, dapat kita jelaskan perbandingan trigonometri sebagai
berikut.
Sin ? =
miringsisi
sudutdidepansikusikusisi ??
=
BC
AC
Cos ? =
miringsisi
sudutdisampingsikusikusisi ??
=
BC
AB
Tan ? =
?
?
sudutsampingdisikusikusisi
sudutdidepansikusikusisi
?
?
=
AB
AC
Ctg ? =
?tg
1
=
AB
AC
1
=
AC
AB
Sec ? =
?cos
1
=
BC
AB
1
=
AB
BC
Cosec ? =
?sin
1
=
BC
AC
1
=
AC
BC
Untuk mempermudah dalam menghafal, cara yang dapat dipakai sebagai
berikut:
Sindemi ? sinus =
miring
depan
Cossami ? cosinus =
miring
samping
Tandesa ? Tangen =
samping
depan
A B
C
?
Ctg ? =
?tg
1
; Cosec ? =
?sin
1
; Sec ? =
?cos
1
MAT. 09. Trigonometri 20
Rumus lain:
Tan ? =
?
?
cos
sin
; Cotan ? =
?
?
sin
cos
; sin2 ? + cos2 ? = 1
Contoh 1
1) Tentukan nilai sin ? , cos ? dan tan ? dari segitiga di
samping ini, jika DE = 6 dan DF = 8.
Jawab:
Pandang ? DEF yang salah satu sudutnya siku-siku
(900), berarti ? DEF merupakan segitiga siku-siku
sehingga berlaku teorema phytagoras, yaitu:
EF2 = DE2 + DF2
= 62 + 82 = 36 + 64 =100
EF = 100 = 10
Jadi; sin ? =
EF
DF
=
10
8
, cos ? =
EF
DE
=
10
6
dan tan ? =
DE
DF
=
6
8
2) Perhatikan segitiga di samping ini, kemudian
tentukan panjang SR, QS dan PS!
Jawab:
QR2 = PQ2 + PR2
= 82 + 152 = 64 + 225 = 289
QR = 289 = 17
Pandang ? PQR: cos ? =
QR
PR
=
17
15
Pandang ? PSR: cos ? =
PR
SR
=
15
SR
Nilai cos ? dari ? PQR = nilai cos ? dari ? PSR, hal ini dikarenakan besar
suatu sudut yang sama adalah sama ( ? besarnya sama).
D E
F
?
Q
P
R
?
S
?
15
8
MAT. 09. Trigonometri 21
Jadi, berlaku persamaan berikut ini.
17
15
=
15
SR
?? 17 SR = 15 x 15 = 225 ? SR =
17
225
= 13
17
4
QR = QS + SR ? QS = QR – SR = 17 - 13
17
4
= 3
17
13
Untuk mencari PS dapat dipakai beberapa cara:
Cara 1.
Pandang ? PQR: sin ? =
QR
PQ
=
17
8
Pandang ? PSR: sin ? =
PR
PS
=
15
PS
Sehingga berlaku:
17
8
=
15
PS
? 17 PS = 8 x 15 ? PS =
17
120
= 7
17
1
Cara 2.
Pandang ? PQR: sin ? =
QR
PR
=
17
15
Pandang ? PQS: sin ? =
PQ
PS
=
8
PS
Sehingga berlaku:
17
15
=
8
PS
? 17 PS = 8 x 15 ? PS =
17
120
= 7
17
1
Cara 3.
Pandang ?? PQS, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan
sudut siku di titik P. Karena PQ = 8 dan QS sudah kita temukan
nilainya yaitu 3
17
13
, maka untuk mencari nilai PS kita gunakan teorema
phytagoras sebagai berikut:
PQ2 = QS2 + PS2
PS2 = PQ2 - QS2
= 82 – (3
17
13
)2
= 64 – (
17
64
)2 = 64 - 2
2
17
64
= 2
2
17
)6417(64 ?
MAT. 09. Trigonometri 22
= 217
)817)(817(64 ??
PS = 217
92564 ??
=
17
3.5.8
=
17
120
=7
17
1
2) Nilai Sinus, Cosinus dan Tangen Sudut Istimewa
Sudut istimewa di sini adalah sudut-sudut yang besarnya 0, 30, 45,
60 dan 90 derajat. Untuk mencari nilai sinus, cosinus dan tangen dari
sudut-sudut istimewa di atas, marilah kita perhatikan dua segitiga siku-siku di bawah ini.
Segitiga siku-siku yang pertama dibentuk dari segitiga sama sisi
dengan panjang sisi 2 satuan, di mana dipotong menurut salah satu garis
sumbunya. Sedangkan siku-siku yang kedua dibentuk dari persegi dengan
panjang 1 satuan, di mana dipotong menurut salah satu diagonalnya. Cara
menentukan nilai dari sinus, cosinus dan tangen adalah sebagai berikut.
Pada segitiga I:
Sin 300 =
BC
AB
=
2
1
; Sin 600 =
BC
AC
=
2
3
=
2
1
3
Cos 600 =
BC
AB
=
2
1
; Cos 600 =
BC
AC
=
2
3
=
2
1
3
Tan 300 =
AC
AB
=
3
1
=
33
31
x
x
=
3
1
3 ; Tan 600 =
AB
AC
=
1
3
= 3
(I) (II)
A
B
C
P
Q
R
2
1
1
2
3
300
600
450
450
MAT. 09. Trigonometri 23
Pada segitiga II:
Sin 450 =
QR
PQ
=
QR
PR
=
2
1
=
22
21
x
x
=
2
1
2
Cos 450 =
QR
PR
=
QR
PQ
=
2
1
=
22
21
x
x
=
2
1
2
Tan 450 =
PR
PQ
=
PQ
PR
=
1
1
= 1
Untuk sudut nol dan siku-siku, cara memperoleh nilai sinus, cosinus
dan tangen adalah sebagai berikut.
Misalkan diketahui suatu lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r
satuan.
Ambil suatu titik pada lingkaran yaitu titik T (x,y).
Pada gambar di samping kan di dapat nilai:
Sin ? =
r
y
; Cos ? =
r
x
; Tan ? =
x
y
sudut nol terjadi jika titik T berimpit dengan
sumbu X, sehingga: sin 00 =
r
0
= 0; cos 00
=
r
x
=
r
r
= 1; Tan 00 =
x
0
= 0.
Sedangkan sudut siku-siku atau 900 terjadi jika titik T berimpit
dengan sumbu Y, sehingga: sin 900 =
r
y
=
r
r
= 1; cos 900 =
r
x
=
r
0
= 0;
Tan 900 =
x
y
=
0
r
= tak terdefinisikan (artinya tan 900 tidak mempunyai
nilai atau tan 900 = ? ).
Dari uraian di atas dapat kita buat tabel nilai sinus, cosinus dan tangen
sebagai berikut.
T(x,y)
?
Y
X
r
MAT. 09. Trigonometri 24
SUDUT SIN COS TAN
00 0 1 0
300
2
1
2
1
3
3
1
3
450
2
1
2
2
1
2 1
600
2
1
3
2
1
3
900 1 0 ?
3) Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
Sistem kuadran pada bidang cartesius terbagi menjadi 4 bagian
yang ditetapkan sebagai berikut:
Kuadran I : daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y positif.
Kuadran II : daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y positif.
Kuadran III : daerah yang dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y negatif.
Kuadran IV: daerah yang dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y negatif.
Sedangkan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran di
atas, dapat dijelaskan dengan gambar berikut ini.
Kuadran I:
Sin ? =
r
y
= +
Cos ? =
r
x
= +
Tan ? =
x
y
= +
T(x,y)
?
Y
X
r
MAT. 09. Trigonometri 25
Kuadran II:
Sin ? =
r
y
= +
Cos ? =
r
x?
= -
Tan ? =
x
y
?
= -
Kuadran III:
Sin ? =
r
y?
= -
Cos ? =
r
x?
= -
Tan ? =
x
y
?
?
= +
Kudran IV:
Sin ? =
r
y?
= -
Cos ? =
r
x
= +
Tan ? =
x
y?
= -
Untuk lebih mempermudah mengingat perbandingan trigonometri
dapat dilakukan dengan membaca gambar berikut.
Yang positif adalah
T(x,y)
?
Y
X
r
Y
X
T(x,y)
r
?
Y
X
T(x,y)
r
?
Kuadran I
semua Kuadran II
sin
Kuadran
III
Kuadran
IV
MAT. 09. Trigonometri 26
4) Penggunaan Perbandingan Trigonometri
Banyak sekali kegunaan konsep perbandingan trigonometri dalam
kehidupan sehari-hari, terutama pada kasus-kasus yang melibatkan
segitiga siku-siku meliputi panjang sisi dan besar sudut siku-siku. Salah
satu kegunaan trigonometri adalah menghitung tinggi atau jarak pada
kasus terapan seperti yang akan dicontohkan berikut ini.
Contoh 2
Sebuah tangga disandarkan pada suatu tembok vertikal. Sudut yang
dibentuk oleh tangga itu dengan lantai horizontal adalah 600. Jika jarak
kaki tangga ke tembok tadi adalah 6 m, hitunglah:
a. Panjang tangga itu
b. Tinggi tembok dari ujung tangga ke lantai
c. Misal sudut antara tangga dan lantai adalah ? , tentukan nilai ? apabila
panjang tangga 6 2 m.
Jawab:
Situasi contoh di atas dapat digambarkan sebagai berikut.
Pandang ?? ABC yang terbentuk, maka ?? ABC merupakan segitiga siku-siku
di A. BC adalah panjang tangga dan AC adalah tinggi tembok ke lantai,
sehingga:
a. Menurut perbandingan cosinus:
Cos 600 =
BC
AB
=
BC
6
B
A
C
600
MAT. 09. Trigonometri 27
? Cos 600. BC = 6
?
2
1
. BC = 6
? BC = 12
Jadi panjang tangga tersebut dalah 12 m.
b. Menurut perbandingan tangen:
Tan 600 =
AB
AC
=
6
AC
? Tan 600. 6 = AC
? AC = 3 . 6 = 6 3
Jadi tinggi tembok dari ujung tangga ke lantai adalah 6 3 m.
c. Menurut perbandingan cosinus:
Cos ? =
BC
AB
=
26
6
=
2
1
Jadi besar ? = 450
5) Koordinat Cartesius dan Kutub
Koordinat cartesius adalah suatu sistem koordinat yang
menggunakan dua garis lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana dua garis yang
dimaksud adalah sumbu X dan sumbu Y, serta perpotongan kedua titik itu
adalah titik asal. Koordinat cartesius sering disebut dengan koordinat siku-siku. Sedangkan koordinat kutub adalah suatu koordinat yang
menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka dalam
menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana titik pangkal
sinar garis itu sebagai kutub atau titik asal dan sinar garis itu sendiri
sebagai sumbu kutub.
Untuk lebih jelasnya pemahaman kita tentang koordinat cartesius
dan koordinat kutub, mari kita perhatikan gambar kedua koordinat itu.
MAT. 09. Trigonometri 28
Pada gambar (I) merupakan contoh koordinat cartesius yang
menggambarkan kedudukan titik P, sedangkan gambar (II) merupakan
contoh koordinat kutub yang menggambarkan kedudukan titik T.
6) Konversi Koordinat Cartesius dan Kutub
Misalkan dalam koordinat cartesius, sumbu X positif dipandang
sebagai sumbu kutub dan titik asal O (dalam sistem koordinat cartesius)
dipandang pula sebagai titik asal dari sistem koordinat kutub. Ambil suatu
titik pada suatu bidang misal Q(x,y) dalam sistem koordinat cartesius yang
dinyatakan sebagai Q(r, ?) dalam sistem koordinat kutub (perhatikan
gambar di bawah ini).
Pandang ? OTQ siku-siku di T, maka melaui perbandingan
trigonometri diperoleh hubungan sebagai berikut.
Cos ? =
r
x
? x = r Cos ?……………(1)
Sin ? =
r
y
? y = r sin ?……………..(2)
?
O(0,0) O Sumbu X
Sumbu Y
? ?
P(x,y)
x
y T(r,?)
(I) (II)
?
r
?
T
Q
O
X
Y
?
r
x
MAT. 09. Trigonometri 29
Kedua ruas persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, kemudian kedua
persamaan itu dijumlahkan, sehingga diperoleh hubungan berikut.
( x2 + y2) = (r2 Cos2 ? + r2 sin2 ?)
x2 + y2 = r2 (Cos2 ? + sin2 ?)
x2 + y2 = r2 (1)…….. karena Cos2 ? + sin2 ? = sin2 ? + Cos2 ? = 1
x2 + y2 = r2 ? r = 22 yx ?
Tan ? =
x
y
? ? = arc tan
x
y
Untuk menyelidiki harga ? yang memenuhi, dapat kita cari dari Cos ? =
r
x
dan Sin ? =
r
y
sehingga diperoleh hubungan berikut ini.
? = arc cos 22 yx
x
?
? = arc sin 22 yx
y
?
Contoh 3
a. Tentukan koordinat cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah
(4,
6
?
)!
Jawab:
r = 4 dan ? =
6
?
, maka x = 4. cos
6
?
= 4.
2
1
3 = 2 3
y = 4. sin
6
?
= 4.
2
1
= 2
Jadi titik ( 4,
6
?
) dalam koordinat kutub dapat dinyatakan dalam
koordinat cartesius sebagai (2 3 , 2)
b. Tentukan koordinat kutub dari titik yang koordinat cartesiusnya (-3, 3 )!
Jawab:
Titik (-3, 3 ) merupakan titik dalam kuadran II, maka ? memenuhi 90
< ? < 180 artinya ? harus tumpul.
MAT. 09. Trigonometri 30
r2 = (-3)2 + ( 3 )2 = 9 + 9 = 18
r = 18 = 2 3
Tan ? =
x
y
=
3
3
?
= -
3
1
3
? = (180 – 30) = 150 =
6
5?
Jadi titik (-3, 3 ) dalam koordinat cartesius dapat dinyatakan dalam
koordinat kutub sebagai (2 3 ,
6
5?
).
7) Aturan Sinus dan Cosinus
Mencari Rumus Sinus
Misalkan ? ABC adalah segitiga dengan ? CAB = ? ; ? ABC = ? dan ? BCA =
? serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c.
Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal
CD .
Sin A =
AC
CD
? CD = AC.Sin A? CD = b Sin A ………(1)
Sin B =
BC
CD
? CD = BC. Sin B ? CD = a Sin B……….(2)
Dari (1) dan (2) didapat:
b Sin A = a Sin B?
ASin
a
=
BSin
b
……….(3)
Tarik garis melalui titik B di luar garis AC tegak lurus garis tersebut, misal
BE .
Sin A =
AB
BE
? BE = AB. Sin A ? BE = c Sin A…….(4)
?
r
X
Y
?
(-3, 3 )
A B
C
a
c
b
?
?
?
D
E
MAT. 09. Trigonometri 31
Sin C =
BC
BE
? BE = BC. Sin C ? BE = a Sin C…….(5)
Dari (4) dan (5) didapat:
c SinA = a Sin C ?
ASin
a
=
SinC
c
…………..(6)
Dari (3) dan (6) di dapat:
ASin
a
=
BSin
b
=
SinC
c
?
?Sin
a
=
?Sin
b
=
?Sin
c ; disebut juga rumus/aturan
sinus.
Rumus sinus:
Mencari Rumus Cosinus
Misalkan ? ABC adalah segitiga dengan ? CAB = ? ; ? ABC = ? dan ? BCA =
? serta panjang BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c.
Tarik garis melalui titik C di luar garis AB tegak lurus garis tersebut, misal
CD .
Sin A =
AC
CD
? CD = b. Sin A………(1)
Cos A =
AC
AD
? AD = b. Cos A
BD = AB – AD = c – b. Cos A………(2)
Pandang ? BDC siku-siku di D, maka
berlaku teorema phytagoras:
BC2 = BD2 + CD2
a2 = (c – b Cos A)2 + (b Sin A)2
= c2 –2bc Cos A + b2Cos2 A + b2 Sin2 A
= c2 –2bc Cos A + b2 (Cos2 A + Sin2 A)
= c2 –2bc Cos A + b2 (1)
a2 = b2 + c2 –2bc Cos A
A B
C
a
c
b
?
?
?
D
?sin
a
=
?sin
b
=
?sin
c
MAT. 09. Trigonometri 32
Dengan cara yang sebanding, kita akan memperoleh rumus cosinus yang
lain yaitu:
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ?
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ?
Buktikan sendiri di rumahmu!
Rumus Cosinus:
8) Penggunaan Aturan Sinus
Aturan sinus sangat bermanfaat untuk menghitung panjang sisi atau besar
sudut pada suatu segitiga.
Contoh 4
a. Diketahui ?? ABC dengan AB = 4 cm, ? CAB = 300 dan ? BCA = 450
.
Tentukan panjang BC?
Jawab:
Berdasarkan aturan sinus:
030sin
BC
= 045sin
AB
? ?2
1
BC
= ? ?2
4
2
1
2
1
2 . BC = 4 x
2
1
BC =
2
2
2
= 2 x
2
2
=
Jadi panjang BC adalah 2 2 cm.
b. Diketahui ?? PQR dengan ? PQR = 600, PQ = 6
4
3
cm dan PR =
4
9
cm. Tentukan besar sudut ? PRQ dan ? RPQ !
A B
C
4 cm
300
450
a2= b2 + c2 – 2 bc cos ?
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ?
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ?
MAT. 09. Trigonometri 33
Jawab:
Berdasarkan aturan sinus:
060sin
PR
=
PRQ
PQ
?sin
32
1
4
9
=
PRQ?sin
64
3
4
9
. Sin ? PRQ =
4
3
6 x 3
2
1 =
8
3
18
sin ? PRQ =
2
1
2 ? ? PRQ = 450
Jadi besar sudut ? PRQ adalah 450, sedangkan besar sudut? RPQ
=1800-(650+450) = 700
.
9) Penggunaan Aturan Cosinus
Seperti halnya aturan sinus, aturan cosinus sangat bermanfaat untuk
menghitung panjang sisi atau besar sudut pada suatu segitiga.
Contoh 5
a. Diketahui ?? ABC dengan AB = 4 cm dan AC = 2 2 cm, ? CAB = 300.
Tentukan panjang BC?
Jawab:
Berdasarkan aturan cosinus:
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ?
= (2 2 )2 + (4)2 – 2. 2 2 . 4. cos 300
= 8 + 16 - 16 2 .
2
1
3
= 24 – 8 6
a = 6824 ? = 2 626 ?
Jadi panjang BC adalah 2 626 ? cm.
P Q
R
4
3 6 cm
600
4
9 cm
A
B
C
4 cm
300
2 2 cm
MAT. 09. Trigonometri 34
b. Diketahui ?? PQR dengan PR = 3 cm, PQ = 1 cm dan QR = 2 cm.
Tentukan besar ? PQR!
Jawab:
PR2 = PQ2 + QR2 – 2 PQ.QR Cos Q
( 3 )2 = (1)2 + (2)2 – 2. 1.2 Cos Q
3 = 5 – 4 Cos Q
4Cos Q = 2
Cos Q =
2
1
? PQR = 600
Jadi besar ? PQR adalah 600
10) Rumus Luas Segitiga
Luas segitiga adalah banyaknya satuan luas yang tepat menutupi
permukaan segitiga itu. Rumus luas segitiga, ada tiga cara yaitu:
Cara I: Luas segitiga=
2
1
x alas x Tinggi; rumus ini dapat digunakan jika
salah satu alas dan garis tinggi pada alas tersebut diketahui.
Cara II:
Menghitung luas segitiga menggunakan perbandingan trigonometri
(Aturan sinus):
L ? ABC =
2
1
x AB x t
Sin A =
AC
t
? t = AC.Sin A
Sehingga, L ? ABC =
2
1
x AB x AC.Sin A
=
2
1
cb sin A
=
2
1
bc sin A
P
Q
R
1 cm
2 cm 3 cm
A
C
t
B
MAT. 09. Trigonometri 35
Dengan memperhatikan ? B, didapat:
t = BC. Sin A
Sehingga, L ? ABC =
2
1
x AB x BC. Sin A
=
2
1
ca sin A
=
2
1
ac sin A
Dengan memperhatikan ? C, didapat:
t = BC. Sin C
Sehingga, L ? ABC =
2
1
x AC x BC. Sin C
=
2
1
ba sin C
=
2
1
ab sin C
Ketiga rumus luas segitiga di atas dapat digunakan apabila diketahui
sebuah sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut.
Cara III:
Berdasarkan rumus/aturan cosinus yaitu
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ? ? Cos ? =
bc
acb
2
222 ??
Karena Sin2 ? + Cos2 ? = 1? Sin2 ? = 1 - Cos2 ?
Maka: Sin2 ? = (1 + Cos ? )(1 - Cos ? )
= ??
??
?
bc
acb
2
1
222
??
??
?
bc
acb
2
1
222
?
= 224
1
cb
(a + b + c)(b + c –a)(a + b – c)(a + c –b)
Misalkan ada satu bilangan real positif s = ½ keliling ? ABC = ½
(a+b+c)
Maka: Sin A = )}(2)}{(2)}{(2){2(
224
1
csbsass
cb
???
A
C
t
B
MAT. 09. Trigonometri 36
=
bc
2
))()(( csbsass ???
sehingga luas ? ABC = ½ bc Sin A
= ½ bc x
bc
2
))()(( csbsass ???
= ))()(( csbsass ???
Rumus luas di atas, dapat digunakan apabila ketiga sisinya diketahui.
Contoh 6
Diketahui ?? PQR. Hitung luas?? PQR Jika:
a. PQ = 1 cm, QR = 2 cm, dan PR = 3 cm.
b. PQ = 1 cm dan QR = 2 cm, besar ? PQR = 600.
c. Alas segitiga adalah 3 cm dan tingginya 1 cm.
Jawab:
a. s = ½ (PQ + QR + PR)
= ½ (1 + 2 + 3 ) =
2
3
+
2
1
3
L ?? PQR = )3
2
1
2
3
)(
2
1
3
2
1
)(
2
1
3
2
1
)(3
2
1
2
3
( ????
= ?? ??? ?
4
1
4
3
4
3
4
9
=
4
2
4
6
x
=
4
1
12 =
2
1
3
Jadi luas ?? PQR adalah 3
2
1
cm2
P
Q
R
1 cm
2 cm 3 cm
MAT. 09. Trigonometri 37
b. L ?? PQR =
2
1
x PQxQRx Sin ? PQR
=
2
1
x 1x 2x Sin 600
= 1 x 3
2
1
Jadi luas ?? PQR adalah 3
2
1
cm2
c. L ?? PQR = ½ alas x tinggi
= ½ x 3 x 1
= 3
2
1
Jadi luas ?? PQR adalah 3
2
1
cm2
c. Rangkuman 1
1) Sin ? =
miringsisi
sudutdidepansikusikusisi ??
=
BC
AC
Cos ? =
miringsisi
sudutdisampingsikusikusisi ??
=
BC
AB
Tan ? =
?
?
sudutsampingdisikusikusisi
sudutdidepansikusikusisi
?
?
=
AB
AC
Ctg ? =
?tg
1
=
AB
AC
1
=
AC
AB
Sec ? =
?cos
1
=
BC
AB
1
=
AB
BC
P
Q
R
1 cm
2 cm
600
P
Q
R
1 cm
3 cm
t
A B
C
?
MAT. 09. Trigonometri 38
Cosec ? =
?sin
1
=
BC
AC
1
=
AC
BC
2) Sistem koordinat kutub
x = r Cos ?
y = r Sin ?
dengan tan ? =
x
y
dan r = 22 yx ?
3) Aturan Sinus:
?sin
a
=
?sin
b
=
?sin
c
4) Aturan Cosinus
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ?
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos ?
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos ?
5) Luas ? ABC =
2
1
x bc x Sin A
Luas ? ABC =
2
1
x ac x Sin B
Luas ? ABC =
2
1
x ab x Sin C
Luas ? ABC = ))()(( csbsass ??? , s setengah keliling segitiga
d. Tugas 1
1. Tentukan nilai sin ? XOT, cos ? XOT dan tan ? XOT, jika koordinat titik
T adalah sebagai berikut:
a) T (3,4) c) T (-5,-10)
b) T (-4,6) d) T (8,-6)
2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah
23 cm. Jika besar salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi
yang lain!
MAT. 09. Trigonometri 39
3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta
hitunglah tan a dari gambar berikut ini:
a) c)
b)
4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut!
e. Kunci Tugas 1
1. a) r= 543 22 ?? sin ? XOT =
r
y
=
5
4
cos ? XOT =
r
x
=
5
3
tan ? XOT =
x
y
=
3
4
b) T (-4,6); x = -4 dan y = 6 maka r= 13252)6()4( 22 ???? sehingga
diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut:
sin ? XOT =
r
y
=
13
3
132
6
?
cos ? XOT =
r
x
=
13
2
132
4 ?
?
?
T (3,4)
O (0,0) x
y
5
3 4
15
8
17
12
5
15
a
a
a
MAT. 09. Trigonometri 40
tan ? XOT =
x
y
=
2
3
4
6
??
?
c) T(-5,10); x = -5 dan y = 10 maka r= 292116)10()5( 22 ???? sehingga
diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut:
sin ? XOT =
r
y
=
29
5
292
10
?
cos ? XOT =
r
x
=
292
5
292
5
??
?
tan ? XOT =
x
y
= 2
5
10
??
?
d) ……………………..(kerjakan mandiri)
2. Diketahui: misalkan ? ABC siku-siku seperti pada soal
? A = 900; ? B = 450; BC = 23
Ditanya: panjang sisi-sisi yang lain!
Jawab:
Cara I: Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka
besar ? C = 1800 – 900 - 450 = 450 =? B sehingga segitiga siku-siku
tersebut juga merupakan segitiga sama kaki.
AB2 + AC2 = BC2
2AB2 = ( 23 )2 = 18
AB2 = 9
AB=AC = 3
A
B
C
MAT. 09. Trigonometri 41
Cara II: sin 450 =
23
AC
BC
AC
? ? AC = sin 450. 23
= 2
2
1
. 23 = 3
3. a) sin a =
5
3
; cos a =
5
4
; dan tan a =
4
3
b) sin a =
17
15
; cos a =
17
8
; dan tan a =
8
15
c) sin a =
5
4
15
12
? ; cos a =
3
1
15
5
? ; dan tan a =
5
12
4. a) Luas masing-masing segitiga di atas dalam kasus ini, lebih mudah
menggunakan perbandingan trigonometri yaitu setengah dikalikan sisi
pertama dan kedua dikalikan sinus sudut yang diapit oleh kedua sisi
tadi.
Luas = ½. 5. 4. Sin a = ½. 5. 4. (
5
3
) = 6 satuan luas
b) Luas = ½. 8. 17. Sin a = ½. 8. 17. (
17
15
) = 60 satuan luas
c) Luas = ½. 5. 15. Sin a = ½. 5. 15. (
5
4
) = 30 satuan luas
f. Tes Formatif
1. Tentukan nilai sin ? XOT, cos ? XOT dan tan ? XOT, jika koordinat titik
T adalah sebagai berikut:
a) T (3,4) c) T (-5,-10)
b) T (-4,6) d) T (8,-6)
2. Diketahui suatu segitiga siku-siku. Panjang sisi miringnya adalah 23 cm.
Jika besar salah satu sudutnya 450, berapakah panjang sisi-sisi yang lain!
MAT. 09. Trigonometri 42
3. Tentukan perbandingan-perbandingan nilai sin a dan cos a, serta hitunglah
tan a dari gambar berikut ini:
a) c)
b)
4. Dari soal no.3 hitunglah luas masing-masing segitiga tersebut!
5. Jika tan ? = ½n, tentukanlah dari:
a) sin ?
b) cos ?
c) tan ?
g. Kunci Tes Formatif
1. a) r= 543 22 ?? sin ? XOT =
r
y
=
5
4
cos ? XOT =
r
x
=
5
3
tan ? XOT =
x
y
=
3
4
b) T (-4,6); x = -4 dan y = 6 maka r= 13252)6()4( 22 ???? sehingga
diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut:
sin ? XOT =
r
y
=
13
3
132
6
?
cos ? XOT =
r
x
=
13
2
132
4 ?
?
?
T (3,4)
O (0,0) x
y
5
3 4
15
8
17
12
5
15
a
a
a
MAT. 09. Trigonometri 43
tan ? XOT =
x
y
=
2
3
4
6
??
?
c) T (-5,10); x = -5 dan y = 10 maka
r= 292116)10()5( 22 ???? sehingga diperoleh perbandingan
trigonometri sebagai berikut:
sin ? XOT =
r
y
=
29
5
292
10
?
cos ? XOT =
r
x
=
292
5
292
5
??
?
tan ? XOT =
x
y
= 2
5
10
??
?
d) ……………………..(kerjakan mandiri)
2. Diketahui: misalkan ? ABC siku-siku seperti pada soal
? A = 900; ? B = 450; BC = 23
Ditanya: panjang sisi-sisi yang lain!
Jawab:
Cara I: Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800, maka
besar ? C = 1800 – 900 - 450 = 450 =? B sehingga segitiga siku-siku
tersebut juga merupakan segitiga sama kaki.
AB2 + AC2 = BC2
2AB2 = ( 23 )2 = 18
AB2 = 9
AB=AC = 3
Cara II: sin 450 =
23
AC
BC
AC
? ? AC = sin 450. 23
= 2
2
1
. 23 = 3
3. a) sin a =
5
3
; cos a =
5
4
; dan tan a =
4
3
A
B
C
MAT. 09. Trigonometri 44
b) sin a =
17
15
; cos a =
17
8
; dan tan a =
8
15
c) sin a =
5
4
15
12
? ; cos a =
3
1
15
5
? ; dan tan a =
5
12
4. a) Luas masing-masing segitiga di atas dalam kasus ini, lebih mudah
menggunakan perbandingan trigonometri yaitu setengah dikalikan sisi
pertama dan kedua dikalikan sinus sudut yang diapit oleh kedua sisi
tadi.
Luas = ½. 5. 4. Sin a = ½. 5. 4. (
5
3
) = 6 satuan luas
b) Luas = ½. 8. 17. Sin a = ½. 8. 17. (
17
15
) = 60 satuan luas
c) Luas = ½. 5. 15. Sin a = ½. 5. 15. (
5
4
) = 30 satuan luas.
MAT. 09. Trigonometri 45
2. Kegiatan Belajar 2
a. Tujuan Kegiatan pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan anda dapat:
? Menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut serta
menggunakannya untuk menyelesaikan masalah
? Membuktikan identitas trigonometri seperti sin2x +cos2x = 1
? Memahami bentuk-bentuk persamaan trigonometri serta dapat
menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut.
b. Uraian Materi
1) Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Menemukan Rumus Cos (a-b) dan cos (a + b)
Diberikan suatu lingkaran yang
berpusat di titik asal dengan jari-jari 1
satuan.
Dibuat titik D (1,0) dalam koordinat kutub, maka koordinat
cartesius titik itu juga sama yaitu (1,0). Dibuat titik B (1,b) dalam
koordinat kutub, maka koordinat cartesius titik itu adalah (cos b, sin b).
Dibuat titik A (1, a) di mana a > b dalam koordinat kutub, maka koordinat
cartesius titik itu adalah (cos a, sin a).
Dari gambar di atas, dapat diketahui besar ? AOB adalah a-b. Oleh
karena itu, dapat dibuat suatu titik C sedemikian hingga membentuk
X
Y
D(1,0)
A
B
C
b
a
x = r cos ?
y = r sin ?
O
MAT. 09. Trigonometri 46
sudut a-b terhadap sumbu X positif, yaitu dengan koordinat (1,a-b) dalam
koordinat cartesius sehingga koordinat cartesiusnya adalah (cos (a-b), sin
(a-b)).
Karena besar ? AOB = ? COD = a-b yang keduanya merupakan
sudut pusat lingkaran, maka panjang busur AB = panjang busur CD
akibatnya AB = CD. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
kita dapat menghitung panjang AB dan DC.
AB = ? ? 22 )( ABAB yyxx ???
= ? ? 22 )sin(sincoscos abab ???
CD = ? ? 22 )( CDCD yyxx ???
= ? ? 22 ))sin(0()(cos1 baba ?????
Oleh karena AC = AB, maka diperoleh:
? ? 22 )sin(sincoscos abab ??? = ? ? 22 ))sin(0()(cos1 baba ?????
Dengan mengkuadratkan kedua ruas, didapat:
(cos b – cos a)2 + (sin b – sin a)2 = [1-cos (a - b)]2 + [0 – sin(a - b)]2
Dengan menguraikan ruas kiri dari persamaan di atas:
(cos b – cos a)2 + (sin b – sin a)2
= (cos2 b –2 cos b.cos a + cos2 a) + (sin2 b –2sin b. sin a + sin2 a)
= (cos2 b + sin2 b) + (cos2 a + sin2 a) – 2 cos b.cos a – 2 sin b. sin a
= (1) + (1) – 2(cos b.cos a + sin b. sin a)
= 2 – 2(cos b.cos a + sin b. sin a) ………………………………………..(1)
Dengan menguraikan ruas kanan dari persamaan yang sama:
[1-cos (a - b)]2 + [0 – sin(a - b)]2
= [ 1 – 2 cos (a - b) + cos2 (a - b)] + [sin2 (a – b)]
= 1– 2 cos (a - b) + cos2 (a - b) + sin2 (a – b)
= 1– 2 cos (a - b) + 1
MAT. 09. Trigonometri 47
= 2 – 2 cos (a - b) ……………………………………………………………..(2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2 – 2(cos b.cos a + sin b. sin a) = 2 – 2 cos (a - b)
2(cos b.cos a + sin b. sin a) = – 2 cos (a - b)
cos b.cos a + sin b. sin a = cos (a - b)
Sehingga diperoleh rumus cosinus selisih dua sudut, yaitu:
Dengan mensubtitusi b = -b pada rumus di atas, diperoleh:
Cos (a –(-b)) = cos a.cos (-b) + sin a. sin (-b)
Cos (a + b) = cos a.cos b + sin a. (-sin b),
karena cos (-b) = cos b dan sin (-b) = -sin b, maka didapat
Cos (a + b) = cos a. cos b - sin a. sin b
Sehingga diperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, yaitu:
Contoh 1
1. Hitunglah nilai cosinus sudut di bawah ini menggunakan rumus
cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. 750
b. 150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
cos 750 = cos (450 + 300) = cos 450.cos 300 - sin 450. sin 300
= ?? 2
2
1
?? 3
2
1
- ?? 2
2
1
. ??
2
1
cos (a - b) = cos a.cos b + sin a. sin b
cos (a + b) = cos a.cos b - sin a. sin b
MAT. 09. Trigonometri 48
= ?? 6
4
1
- ?? 2
4
1
=
4
1 ? ?26 ?
b. Ingat: 150 = 450 - 300
cos 150 = cos (450 - 300) = cos 450.cos 300 + sin 450. sin 300
= ?? 2
2
1
?? 3
2
1
+ ?? 2
2
1
. ??
2
1
= ?? 6
4
1
+ ?? 2
4
1
=
4
1 ? ?26 ?
Contoh 2
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. cos (
2
?
-x) = sin x
b. cos (x + ? ) = - cos x
Jawab:
a. Ingat: cos
2
?
= 0, sin
2
?
= 1
cos (
2
?
-x ) = cos
2
?
.cos x + sin
2
?
. sin x
= 0. cos x + 1. sin x
= – sin x
b. Ingat: cos ? = -1, sin ? = 0
cos (x +? ) = cos x.cos ? . - sin x. sin ?
= cos x (-1) – sin x. 0
= – cos x
MAT. 09. Trigonometri 49
Contoh 3
Hitunglah menggunakan rumus cosinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. cos 2?
b. cos 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
cos 2? = cos (? + ? ) = cos ? .cos ? - sin ? . sin ?
= cos2 ? – sin2 ?
Karena sin2 ? + cos2 ? = 1, maka:
cos 2? = (1 - sin2 ? ) - sin2 ? = 1 – 2 sin2 ? ; atau
cos 2? = cos2 ? - (1 - cos2 ? ) = 2 cos2 ? - 1
sehingga kita mendapat rumus:
b. Ingat: 0 = ? - ?
cos 0 = cos (? - ? ) = cos ? .cos ? + sin ? . sin ?
= cos2 ? + sin2 ?
= 1 …………..karena sin2 ? + cos2 ? = 1
Menemukan Rumus sin (a ? b)
Diketahui sin ? = cos (900 - ?),
misalkan ? = a + b maka:
Sin (a + b) = cos [900 – (a+b)]
= cos [(900 – a) – b]
= cos (900 – a) cos b + sin (900 – a) sin b
= sin a cos b + cos a sin b
Sehingga diperoleh rumus sinus jumlah dua sudut, yaitu:
cos 2? = cos2 ? – sin2 ? =1 – 2 sin2 ? = 2 cos2 ? - 1
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
MAT. 09. Trigonometri 50
Dengan mensubtitusi b = -b pada rumus di atas, diperoleh:
Sin (a +(- b)) = sin a cos (-b) + cos a sin (-b)
Sin (a – b) = sin a cos b + cos a (-sin b) ……….…karena cos (-b) = cos
b dan sin (-b) = -sin b
= sin a cos b - cos a sin b
Sehingga diperoleh rumus sinus selisih dua sudut, yaitu:
Contoh 4
Hitunglah nilai sinus sudut di bawah ini menggunakan rumus cosinus
jumlah atau selisih dua sudut!
a. 750
b. 150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
sin 750 = sin (450 + 300) = sin 450.cos 300 + cos 450. sin 300
= ?? 2
2
1
?? 3
2
1
+ ?? 2
2
1
. ??
2
1
= ?? 6
4
1
+ ?? 2
4
1
=
4
1 ? ?26 ?
b. Ingat: 150 = 450 - 300
sin 150 = sin (450 - 300) = sin 450.cos 300 - cos 450. sin 300
= ?? 2
2
1
?? 3
2
1
- ?? 2
2
1
. ??
2
1
= ?? 6
4
1
- ?? 2
4
1
=
4
1 ? ?26 ?
Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
MAT. 09. Trigonometri 51
Contoh 5
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus sinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. sin (
2
?
-x) = cos x
b. sin (x + ? ) = - cos x
Jawab:
a. Ingat: cos
2
?
= 0, sin
2
?
= 1
sin (
2
?
-x ) = sin
2
?
.cos x - cos
2
?
. sin x
= 1. cos x – 0. sin x
= cos x
b. Ingat: cos ? = -1, sin ? = 0
sin (x +? ) = sin x.cos ? + cos x. sin ?
= sin x (-1) + cos x. 0
= – sin x
Contoh 6
Hitunglah menggunakan rumus sinus jumlah atau selisih dua sudut!
a. sin 2?
b. sin 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
sin 2? = sin (? + ? ) = sin ? .cos ? + cos ? . sin ?
= sin ? .cos ? + sin ? . cos ?
= 2 sin ? .cos ?
sehingga kita mendapat rumus:
sin 2? = 2 sin ? .cos ?
MAT. 09. Trigonometri 52
b. Ingat: 0 = ? - ?
sin 0 = sin (? - ? ) = sin ? .cos ? - cos ? . sin ?
= sin ? .cos ? - sin ? . cos ?
= 0
Menentukan Rumus Tan ( a ? b)
Pada bab yang lalu, kita sudah mempelajari bersama rumus jumlah atau
selisih dua sudut untuk sinus dan cosinus. Rumus-rumus tersebut
digunakan kembali untuk mencari rumus tangen ( a ? b), pada proses
berikut.
Tan (a – b) =
)(cos
)(sin
ba
ba
?
?
=
baba
baba
sinsincoscos
sincoscossin
?
?
=
ba
baba
ba
baba
coscos
sinsincoscos
coscos
sincoscossin
?
?
; pembilang dan penyebut dibagi cos
a.cos b
=
ba
ba
ba
ba
b
b
a
a
coscos
sinsin
coscos
coscos
cos
sin
cos
sin
?
?
=
ba
ba
tantan1
tantan
?
?
sehingga kita memperoleh rumus tangen selisih dua sudut, yaitu:
Dengan mengganti b = -b pada rumus di atas, kita akan memperoleh
rumus tangen jumlah dua sudut seperti berikut ini.
tan (a – (-b)) =
)(tantan1
)(tantan
ba
ba
??
??
tan (a – b) =
ba
ba
tantan1
tantan
?
?
MAT. 09. Trigonometri 53
tan (a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
?
?
; karena tan (-a) = tan a dan tan (-b) = tan b.
sehingga kita memperoleh rumus tangen jumlah dua sudut, yaitu:
Contoh 7
Hitunglah nilai tangen sudut di bawah ini menggunakan rumus tangen
jumlah atau selisih dua sudut!
c. 750
d. 150
Jawab:
a. Ingat: 750 = 450 + 300
tan 750 = tan (450 + 300) = 00
00
30tan45tan1
30tan45tan
?
?
=
3
3
1
.11
3
3
1
1
?
?
=
3
33
3
33
?
?
=
33
33
?
?
x
33
33
?
?
=
39
)33( 2
?
?
=
6
36
6
3
6
9
??
= 2 + 3
tan (a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan
?
?
MAT. 09. Trigonometri 54
b. Ingat: 150 = 450 - 300
Tan 150 = tan (450 - 300) = 00
00
30tan45tan1
30tan45tan
?
?
=
3
3
1
.11
3
3
1
1
?
?
=
3
33
3
33
?
?
=
33
33
?
?
x
33
33
?
?
=
39
)33( 2
?
?
=
6
36
6
3
6
9
??
= 2 - 3
Contoh 8
Buktikan persamaan trigonometri di bawah ini berlaku, dengan
menggunakan rumus tangen jumlah atau selisih dua sudut!
a. tan (-x) = - tan x
b. tan (x + ? ) = tan x
Jawab:
a. Ingat: tan 0 = 0, -x = 0 - x
tan (0-x ) =
x
x
tan0tan1
tan0tan
0
0
?
?
=
x
x
tan.01
tan0
?
?
= - tan x
MAT. 09. Trigonometri 55
b. Ingat: tan ? = 0,
tan (x +? ) =
?
?
tantan1
tantan
x
x
?
?
=
0.tan1
0tan
x
x
?
?
= tan x
Contoh 9
Hitunglah menggunakan rumus tangen jumlah atau selisih dua sudut!
a. tan 2?
b. tan 0
Jawab:
a. Ingat: 2? = ? + ?
tan 2? = tan (? + ? )
=
aa
aa
tantan1
tantan
?
?
=
a
a
2tan1
tan2
?
sehingga kita mendapat rumus:
b. Ingat: 0 = ? - ?
tan 0 = tan (? - ? ) =
??
??
tantan1
tantan
?
?
=
?2tan1
0
?
; andaikan nilai tan2 ? terdefinisi, maka
= 0
tan 2? =
a
a
2tan1
tan2
?
MAT. 09. Trigonometri 56
2) Pengembangan Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
Dari beberapa rumus pada pembelajaran 1 dapat kita turunkan beberapa
rumus baru diantaranya sebagai berikut:
Dengan menjumlahkan sin (x + y) dan sin (x – y), kita memperoleh:
Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
Sedangkan apabila sin (x+ y) dikurangi sin (x – y), kita memperoleh:
Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
Dengan menjumlahkan cos (x + y) dan cos (x – y), kita memperoleh:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
Sedangkan apabila cos (x+ y) dikurangi cos (x – y), kita memperoleh:
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y
Dari penurunan di atas kita mendapatkan 4 rumus yaitu:
Misalkan:
A = x + y A = x + y
B = x – y B = x – y
A + B = 2x (A – B) = 2y
½ (A + B) = x ½ (A – B) = y
+
-
+
-
- +
sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y
MAT. 09. Trigonometri 57
Sehingga keempat rumus tadi dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh 10
Jika x = 1050; y = 150.Tentukan:
a) sin x + sin y b) sin x – sin y
c) cos x + cos y d) cos x – cos y
Jawab:
a) sin 1050 + sin 150 = 2 sin ½ (1050 + 150 ) cos ½ (1050 – 150)
= 2 Sin ½ (1200) cos ½ (900)
= 2 Sin 600 cos 450
= 2 ( 3
2
1
).( 2
2
1
).
= 6
2
1
b) sin 1050 - sin 150 = 2 cos ½ (1050 + 150 ) sin ½ (1050 – 150)
= 2 cos ½ (1200) sin ½ (900)
= 2 cos 600 sin 450
= 2 (
2
1
).( 2
2
1
).
= 2
2
1
c) cos 1050 + cos 150 = 2 cos ½ (1050 + 150 ) cos ½ (1050 – 150)
= 2 cos ½ (1200) cos ½ (900)
= 2 cos 600 cos 450
= 2 (
2
1
).( 2
2
1
).
= 2
2
1
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
sin A - sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
cos A - cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
MAT. 09. Trigonometri 58
d) cos 1050 - cos 150 = -2 sin ½ (1050 + 150 ) sin ½ (1050 – 150)
= -2 Sin ½ (1200) sin ½ (900)
= -2 Sin 600 sin 450
= -2 ( 3
2
1
).( 2
2
1
).
= - 6
2
1
3) Identitas Trigonometri
Sebelum kita lebih jauh dalam membahas identitas trigonometri, kita ingat
kembali identitas dasar, yaitu:
Sec a =
acos
1
=
x
r
; Cosec a =
asin
1
=
y
r
; cotan a =
atan
1
=
y
x
Atau cotan a =
a
a
sin
cos
Sin2 a + cos2 a = (
r
y
)2 + (
r
x
)2 = 2
22
r
xy ?
=
r
r
= 1
1 + tan2 a = 1 + (
x
y
)2 = 2
22
x
yx ?
= 2
2
x
r
=(
acos
1
)2 = Sec2 a
1 + cotan2 a = 1 + (
y
x
)2 = 2
22
y
xy ?
= 2
2
y
r
=(
asin
1
)2 = cosec2 a
Dengan dasar rumus identitas dasar di atas dan rumus-rumus trigonometri
yang dahulu, kita pakai untuk membuktikan identitas trigonometri. Untuk
lebih mempermudah dalam pembuktian identitas trigonometri hendaknya
kita ikuti salah satu dari langkah-langkah berikut ini:
T (x,y)
r
a
MAT. 09. Trigonometri 59
Langkah I:
Turunkan salah satu ruas dari persamaan yang dipandang lebih komplek
menggunakan rumus-rumus yang telah ada sebelumnya, sehingga
menghasilkan bentuk yang sama dengan ruas yang lain.
Langkah II:
Turunkan kedua ruas persamaan secara bersama-sama dan hendaknya
dilakukan dalam tempat terpisah untuk menghindari kekeliruan,
sedemikian hingga nantinya akan memperoleh bentuk yang sama.
Contoh 11
Buktikan identitas trigonometri berikut ini:
a) cos (a + b) cos (a – b) = cos2 a + sin2 b
b) cosec (a + b) =
ba
ba
cotancotan
cosec..cosec
?
c) Jika diberikan ? ABC siku-siku di C, berlaku cos A. Cos B = ½, buktikan
bahwa cos (A – B) = 1
Jawab:
a) cos (a + b) cos (a – b) = cos2 a - sin2 b
Dengan menurunkan ruas kiri dari persamaan di atas, didapat;
(cos a. cos b – sin a. sin b). ( cos a. cos b + sin a.sin b)
= (cos a. cos b)2 – (sin a. sin b)2
= cos2a. cos2 b – sin2 a. sin2 b
= cos2 a. (1-sin2b) – (1-cos2 a). sin2 b
= cos2 a - cos2 a. sin2b - sin2b + cos2 a. sin2b
= cos2 a – sin2b. karena sama dengan ruas kanan, maka identitas
trigonometri di atas terbukti.
b) cosec (a + b) =
ba
ba
cotancotan
cosec..cosec
?
Dengan menurunkan ruas kanan persamaan trigonometri di atas, kita
memperoleh:
MAT. 09. Trigonometri 60
ba
ba
cotancotan
cosec..cosec
?
=
b
b
a
a
ba
sin
cos
sin
cos
sin
1
.
sin
1
?
=
ba
abba
ba
sin.sin
sincossincos
sin.sin
1
?
=
baba cossinsincos
1
?
=
baba sincoscossin
1
?
=
)(sin
1
ba ?
= cosec (a + b) terbukti
c) Diket: ? ABC siku-siku di C, berlaku cos A. Cos B = ½, buktikan bahwa
cos (A – B) = 1.
Bukti:
A + B + C = 1800, karena ? ABC segitiga siku-siku dengan sudut siku di
titik C, maka A + B = 900.
Cos (A + B) = cos A.cos B – sin A. sin B
Cos 900= ½ - sin A. sin B
a.= ½ - sin A. sin B
sin A. sin B = ½
Sehingga:
Cos (A – B) = cos A.cos B + sin A. sin B
= ½ + ½
= 1. terbukti
4) Persamaan Trigonometri
Menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin x = a; cos x = b dan
tan x = c
MAT. 09. Trigonometri 61
Misalkan: sin ? = a; andaikan a suatu bilangan real positif dimana 0 ? a ? 1,
maka sudut ? yang memenuhi ada di kuadran I dan II atau
perputarannya.
Sin x = sin ?
X1 = ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat
X2 = (1800-? ) + k. 3600
Contoh 12
Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini:
a) Sin x = ½ ; untuk 0< x < 3600
b) Sin 2x = ½ ; untuk 0< x < 3600
Jawab:
a) Sin x = ½
Sin x = sin 300
Sehingga:
X1 = 300 + k. 3600 x2 = (1800 - 300) + k. 3600
k = 0, maka x1 = 300 x2 = 1500 + k. 3600
k = 1, maka x1 = 3900 (TM) k = 0, maka x2 = 1500
catat: TM= tidak memenuhi k = 1, maka x2 = 5100 (TM)
Jadi penyelesaiannya adalah: { 300, 1500}
b) Sin 2x = ½
Sin 2x = sin 300
Sehingga:
2X1 = 300 + k. 3600 2x2 = (1800 - 300) + k. 3600
k = 0, maka x1= 300/2= 150 2x2 = 1500 + k. 3600
k = 1, maka x1= 3900/2= 1950 k = 0, maka x2=1500/2= 750
k = 2, maka x1 = 7500/2= 3750 (TM) k =1, maka x2=5100/2= 2550
k =2,makax2=8700/2=4350 (TM)
Jadi penyelesaiannya adalah: { 150,750, 1950, 2250}
MAT. 09. Trigonometri 62
Misalkan: cos ? = b, andaikan b suatu bilangan real positif dimana
0 ? b ? 1, maka sudut ? berada di kuadran I dan IV atau perputarannya.
cos x = b
cos x = cos ?
X1 = ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat
X2 = -? + k. 3600
Contoh13
Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini:
a) Cos x = ½ ; untuk 0< x < 3600
b) Cos 2x = ½ ; untuk 0< x < 3600
Jawab:
a) Cos x = ½
cos x = cos 600
Sehingga:
X1 = 600 + k. 3600 x2 = (1800 - 600) + k. 3600
k = 0, maka x1 = 600 x2 = 1200 + k. 3600
k = 1, maka x1 = 4200 (TM) k = 0, maka x2 = 1200
k= 1, maka x2 = 4800 (TM)
Jadi penyelesaiannya adalah: { 600, 1200}
b) cos 2x = ½ …………(kerjakan sendiri)
Misalkan: tan ? = c, andaikan c suatu bilangan real positif, maka sudut ?
berada di kuadran I dan III atau perputarannya.
tan x = c
tan x = tan ?
X1 = ? + k. 3600; di mana k bilangan bulat
X2 = (1800 + ? ) + k. 3600
= ? + 1800 + k. 3600
sehingga penyelesaiannya sama saja dengan x = ? + k. 1800
MAT. 09. Trigonometri 63
Contoh 14
Tentukan penyelesaian dari persamaan di bawah ini:
a) tan x = 1; untuk 0< x < 3600
b) tan 2x = 1; untuk 0< x < 3600
Jawab:
a) tan x = 1
tan x = tan 450
Sehingga:
X = 450 + k. 1800
k = 0, maka x = 450
k = 1, maka x = 2250
k = 2,maka x = 4050 (TM )
Jadi penyelesaiannya adalah: { 450, 2250}
b) tan 2x = 1………….(kerjakan sendiri)
Menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a cos x+b sin x = k cos (x-? )
Pada rumus di muka telah diberikan rumus nilai cosinus dari selisih dua
sudut, yaitu:
Cos (x - ? ) = cos x cos ? + sin x sin ?
Misalkan: cos ? = a dan sin ? = b, maka cos2? + sin2 ? = a2 + b2 = 1
Sehingga persamaan di atas menjadi;
22 ba ? Cos (x - ? ) = cos x.a + sin x. b
k cos (x - ? ) = a. cos x + b sin x; dimana k = 22 ba ?
dengan tan ? =
?
?
cos
sin
=
a
b
; di mana letak sudut ? sebagai berikut.
? di kuadran I, jika a>0 dan b>0
? di kuadran II, jika a<0 dan b>0
? di kuadran III, jika a<0 dan b<0
? di kuadran IV, jika a>0 dan b<0
MAT. 09. Trigonometri 64
misalkan: k cos (x - ? ) = c, maka persamaan di atas menjadi:
c = a. cos x + b sin x
Contoh 15
Tentukan penyelesaian dari: Cos x + 3 sin x = 1, jika 0< x < 3600!
Jawab:
k = ? ? ? ?22 31 ? = 31? = 4 = 2
Tan ? =
1
3
= 3 , maka ? ada di kuadran I karena 3 >0 dan 1>0
Sehingga:
? = 450
Akibatnya persamaan di atas, menjadi:
Cos x + 3 sin x = 1= 2 cos (x - 450)
? 2 cos (x - 450) = 1
? cos (x - 450) = ½
? cos (x – 450) = cos 600
x1 – 450 = 600 + n. 3600; di mana n bilangan bulat.
x1 = 1050 + n. 3600
n = 0, maka x1 = 1050
n = 1, maka x1 = 4650 (tidak mungkin, mengapa?); atau
x1 – 450 = -600 + n. 3600; di mana n bilangan bulat.
x1 = -150 + n. 3600
n = 0, maka x2 = -150 (tidak mungkin, mengapa?)
n = 1, maka x2 = 3450
Himpunan penyelesaiannya adalah: { 1050, 3450}
Jadi penyelesaian bentuk a cos x + b sin x = k cos (x - ? )
adalah penyelesaian dari k cos (x - ? ) = c
MAT. 09. Trigonometri 65
c. Rangkuman 2
1) cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b
cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a - b) = sin a cos b - cos a sin b
2) sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y
sin (x + y) - sin (x – y) = 2 cos x sin y
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y
cos (x + y) - cos (x – y) = -2 sin x sin y.
3) sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)
sin A - sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)
cos A - cos B = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)
4) Untuk menyelesaiakn identitas trigonometri dilakukan dengan langkah
turunkan salah satu ruas dari persamaan yang dipandang lebih komplek
menggunakan rumus-rumus yang telah ada sebelumnya, sehingga
menghasilkan bentuk yang sama dengan ruas yang lain.
5) Penyelesaian bentuk a cos x + b sin x = k cos (x - ? ) adalah penyelesaian
dari k cos (x - ? ) = c.
MAT. 09. Trigonometri 66
d. Tugas 2
1. Hitunglah nilai dari cosinus dari sudut berikut:
a) 22,50
b) 67,50
2. Jika tan ? = n, tentukanlah dari:
a. sin 2?
b. tan ½?
3. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a. cos ½x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b. cos x – sin x = 1; untuk 0 < x < 3600
e. Kunci Jawaban Tugas 2
1. a) cos 450 = 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
= 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
+ 1= 2cos2 22,50
( 2
2
1
+ 1)/2= cos2 22,50
cos2 22,50 =
2
22
2
1
4
22
2
22
?
?
?
?
?
b) sin 450 = 1- 2sin2 22,50
2
2
1
= 1- 2sin2 22,50
2sin2 22,50 = 1- 2
2
1
sin222,50 = (1- 2
2
1
)/2
T (3,4)
O (0,0) x
y
MAT. 09. Trigonometri 67
sin2 22,50 =
2
22
2
1
4
22
2
22
?
?
?
?
?
2. tan ? = n =
x
y
; sehingga x= 1 dan y = n.
r = 2222 11 ??? nn
sin ? =
12 ?
?
n
n
r
y
; cos ? =
1
1
2 ?
?
nr
x
sin 2? = 2 sin ? . cos ? = 2
12 ?n
n
.
1
1
2 ?n
=
1
2
2 ?n
n
sin ½ ? =….? Cos ? = 1- 2sin2 ?
1
1
2 ?n
= 1- 2sin2 ?
2 sin2 ? = 1-1
1
2 ?n
sin2 ? =
2
1
-12
1
2 ?n
? sin ? =
1n2
1
-2
1
2 ?
3. a) cos ½ x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos ½ x = cos 600
½ x = 600
x1 = 1200 + k.3600 x2 = -1200 + k.3600
k=0? x1 = 1200 k=0? x2 = -1200 (TM)
k=1? x1 = 4800(TM/tidak termasuk) k=1? x2 = 2400
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1200,2400}
b) cos x –sin x = 1 ; 0 ? x ? 3600
k = 211)1()1( 2222 ??????? ba
tan ? =
a
b
= 1
1
1
??
?
? = 1350 (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 1
2 cos (x-1350) = 1
cos (x-1350) = 2
2
1
2
1
?
MAT. 09. Trigonometri 68
cos (x-1350) = cos 450
x1-1350 = 450 + k.3600 x1-1350 = -450 + k.3600
x1 = 3600 + k.3600 x1 = 900 + k.3600
untuk k=-1? x1 = 00 k=-1? x1 = 2700
k= 0? x1 = 3600 k= 0? x1 = 900
k=1? x1 = 7200 (TM) k=1? x1 = 4500 (TM)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {00,900, 2700,3600}
f. Tes Formatif
1. Tulislah rumus trigonometri sudut jumlah atau selisih dari soal berikut ini:
a) cos (3a + 2b) dan cos (3a - 2b)
b) sin (4p + 7q) dan sin (4p - 7q)
c) tan (5x + 8y) dan tan (5x - 8y)
2. Tulislah rumus trigonometri sudut ganda dari soal berikut ini:
a) sin 2p, cos 2p dan tan 2p dalam p.
b) sin a, cos a dan tan a dalam ½ a.
c) sin 6x, cos6x dan tan 6x dalam 3x.
3. Hitunglah nilai dari sinus dari sudut berikut:
a) 22,50
b) 67,50
4. Buktikanlah identitas trigonometri berikut ini:
a) sin (a + b + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin
c -sin a sin b sin c
b) cos (a + b + c) = cos a cos b cos c -sin a sin b cos c -sin a cos b sin c -cos a sin b sin c
c) tan (a+ b+ c) =
baaccb
cbacba
tantantantantantan1
tantantantantantan
???
???
5. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a) cos ½x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b) cos x – sin x = 1; untuk 0 < x < 3600
MAT. 09. Trigonometri 69
g. Kunci Tes Formatif
1. a) cos (3a + 2b) = cos 3a cos2b – sin 3a sin2b
cos (3a - 2b) = cos 3a cos2b + sin 3a sin2b
b) sin (4p + 7q) = sin 4p cos 7q + cos 4p sin 7q
sin (4p - 7q) = sin 4p cos 7q - cos 4p sin 7q
c) tan (5x + 8y) =
yx
yx
8tan5tan1
8tan5tan
?
?
tan (5x - 8y) =
yx
yx
8tan5tan1
8tan5tan
?
?
2. a) sin 2p = 2 sinp cos p, cos 2p = cos2p - sin2p dan tan 2p =
p
p
2tan1
2tan2
2?
b) sin a = 2 sin (½p) cos (½p), cos a= cos2 (½p) - sin2(½p), tan a =?
c) sin 6x = 2 sin 3x cos 3x, cos6x = cos2(3x) - sin2(3x), tan 6x = ?.
3. a) cos 450 = 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
= 2cos2 22,50 – 1
2
2
1
+ 1= 2cos2 22,50
( 2
2
1
+ 1)/2= cos2 22,50
cos2 22,50 =
2
22
2
1
4
22
2
22
?
?
?
?
?
b) sin 450 = 1- 2sin2 22,50
2
2
1
= 1- 2sin2 22,50
2sin2 22,50 = 1- 2
2
1
sin222,50 = (1- 2
2
1
)/2
MAT. 09. Trigonometri 70
sin2 22,50 =
2
22
2
1
4
22
2
22
?
?
?
?
?
4. tan ? = n =
x
y
; sehingga x= 1 dan y = n.
r = 2222 11 ??? nn
sin ? =
12 ?
?
n
n
r
y
; cos ? =
1
1
2 ?
?
nr
x
sin 2? = 2sin? .
cos ? = 2
12 ?n
n
.
1
1
2 ?n
=
1
2
2 ?n
n
sin ½ ? =….? Cos ? = 1- 2sin2 ?
1
1
2 ?n
= 1- 2sin2 ?
2sin2 ? = 1-1
1
2 ?n
sin2 ? =
2
1
-12
1
2 ?n
? sin ? =
1n2
1
-2
1
2 ?
5. a) cos ½ x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos ½ x = cos 600
½ x = 600
x1 = 1200 + k.3600 x2 = -1200 + k.3600
k=0? x1 = 1200 k=0? x2 = -1200 (TM)
k=1? x1 = 4800(TM/tidak termasuk) k=1? x2 = 2400
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1200,2400}
b) cos x –sin x = 1 ; 0 ? x ? 3600
k = 211)1()1( 2222 ??????? ba
tan ? =
a
b
= 1
1
1
??
?
MAT. 09. Trigonometri 71
? = 1350 (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 1
2 cos (x-1350) = 1
cos (x-1350) = 2
2
1
2
1
?
cos (x-1350) = cos 450
x1-1350 = 450 + k.3600 x1-1350 = -450 + k.3600
x1 = 3600 + k.3600 x1 = 900 + k.3600
untuk k=-1? x1 = 00 k=-1? x1 = 2700
k= 0? x1 = 3600 k= 0? x1 = 900
k=1? x1 = 7200 (TM) k=1? x1 = 4500 (TM)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {00,900, 2700,3600}
MAT. 09. Trigonometri 72
BAB III. EVALUASI
A. Soal Tes Evaluasi
Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan jelas!
1. Tentukan nilai sin, cos dan tan dari sudut berikut ini:
a) 1350
b) -600
c) 3900
2. Diketahui suatu segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya ? . sin ? =
p, jika ? sudut tumpul, maka tentukan tan ? dan cos ? !
3. Hitunglah operasi nilai trigonometri sudut, berikut ini.
tan (-450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300
4. Diketahui segitiga ABC seperti gambar di bawah ini.
Tentukan panjang garis tinggi BD dan luas
? ABC!
5. Jika A, B, dan C masing-masing sudut suatu segitiga (bukan segitiga siku-siku), buktikan bahwa tan A + tan B + tan C=tanA tan B tan C!.
6. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini:
a) cos 2x = ½ ; untuk 0 < x < 3600
b) 2cos x – sin x = 3 ; untuk 0 < x < 3600
10
A
5
600 B
C
15
D
MAT. 09. Trigonometri 73
B. Kunci Jawaban Tes Evaluasi
1. a) sin 1350 = sin (1800-450)
= sin 450
= 2
2
1
b) sin –600 = -sin 600
= 3
2
1
?
c) sin 3900 = sin (30+1.360)
= sin 30
=
2
1
2. sin ? = p =
r
y
, ? sudut tumpul? ??
?
??
2
(kuadran II)
sehingga nilai tan ? negatif. x = 222 11 pp ???
maka: tan ? = 21 p
p
?
?
; cos ? = 21 p?
3. tan (-450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300
= -tan 450 + sin 600 - cos 450 – cos 300
= -1 + 3
2
1
- 2
2
1
- 3
2
1
= -1 - 2
2
1
4. Cara I:
Dengan menggunakan teorema phytagoras:
BD2 = AB2 – AD2
BD2 = 102 – 52 = 100 – 25 =75
BD = 3575 ?
Luas segitiga = ½ AC.BD = ½.20. 35
= 350 satuan luas.
10
A
5
600 B
C
15
D
MAT. 09. Trigonometri 74
Cara II: menggunakan perbandingan trigonometri
Sin 600 =
10
BD
AB
BD
? ? BD = Sin 600. 10 = 3
2
1
.10 = 35
? A = diapit oleh sisi AB dan AC, maka rumus luas segitiga yang dapat kita
pakai adalah:
Luas Segitiga ABC = ½ AB.AC sin ? A
= ½ 10.20 sin 600
= ½ 10.20. 3
2
1
= 350 satuan luas.
5. A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga.
Ingat: jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800.
Sehingga berlaku:
A + B + C = 1800
tan C = tan (1800 – (A+B))
tan C = -tan (A+B)
tan C = ?? ?
?
?
BA
BA
tantan1
tantan
tan C =
1tantan
tantan
?
?
BA
BA
? tan A + tan B = (tan A tan B –1)tan C
? tan A + tan B = tan A tan B tan C –tan C
? tan A + tan B+ tan C = tan A tan B tan C
terbukti.
6. a) cos 2 x = ½ ; 0 ? x ? 3600
cos 2 x = cos 600
2x = 600
x1 = 300 + k.3600 x2 = -300 + k.3600
k=0? x1 = 300 k =0? x2 = -300 (TM)
k=1? x1 = 3900(TM/tidak termasuk) k =1? x2 = 3300
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {300,3300}
MAT. 09. Trigonometri 75
b) 2cos x –sin x = 3 ; 0 ? x ? 3600
k = 312)1()2( 2222 ??????? ba
tan ? =
a
b
=
2
1
2
1
??
?
? =[3600 - arc tan(
2
1
)] (KW IV)
sehingga: k cos (x-? ) = 3
3 cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = 3
cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = 1
cos (x-[3600 - arc tan(
2
1
)]) = cos 900
x1-[3600 - arc tan(
2
1
)]= 900 + k.3600……………dan seterusnya.
MAT. 09. Trigonometri 76
BAB IV. PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes
praktek untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda
dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini,
maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
Mintalah pada guru untuk uji kompetensi dengan sistem penilaian yang
dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten
apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka
hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan
verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil
tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi
dan bila memenuhi syarat anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi
yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.
MAT. 09. Trigonometri 77
DAFTAR PUSTAKA
Kanginan, Marthen dan Kustendi, T. 2001. MATEMATIKA untuk SMU kelas II
jilid 2A. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Purcel, E.J. dan D. Verberg. 1986. Kalkulus dan Geonetri Analitik I.
Terjemahan I.N. Susila, B. Kartasasmita dan rawuh. Jakarta: Erlangga.
Suherman, Erman dkk. 2003. Strategi Pembelajaran ontemporer. Bandung:
JICA -IMSTEP.
Sembiring, Suwah. 1996. Kumpulan soal dan pembahasan UMPTN 1992-1996
Rayon A, B, C. Bandung: Ganesha Operation.
PROGRAM MAGISTER
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
ANALISIS SEQUENCE DNA VIRUS H1N1
MENGGUNAKAN METODE
SUPER PAIRWISE ALIGNMENT
Oleh :
Alfi Yusrotis Zakiyyah
NRP : 1209201010
Pembimbing :
Prof. Dr. M. Isa Irawan, MT
Dr. rer. nat. Ir. Maya Shovitri, M.Si
Latar Belakang
Analisis sequence merupakan salah satu metode untuk mengenali fungsi,
struktur evolusi dan bentuk dari sequence
.
Analisis Sequence
Analisis protein
Submission and Retrieval
Pensejajaran sequence
Software Pensejajaran Sequence
http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_alignment_software
Latar Belakang
Pada permasalahan identifikasi penyakit, DNA virus bermutasi sehingga
dapat menyebabkan virus baru. identifikasi virus baru tersebut dapat
dianalisis tingkat homolognya dengan pensejajaran sequence.
Virus H1N1 merupakan salah satu contoh mutasi. Virus tersebut
bermutasi cukup cepat. Hemaglutinin virus H1N1 bertransmisi dari
aspartic acid (D) menjadi Glynine (G) pada baris 222. virus H1N1
bermutasi sehingga menghasilkan jumlah karakter berbeda pada strain
baru. (Puzelli, 2010)
Rumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut :
a. Bagaimana hasil tingkat homolog sequence-sequence DNA
virus H1N1 dengan menggunakan metode SPA
b. Berapakah hasil penalty/gap dari pensejajaran sequence-sequence DNA virus H1N1 dengan menggunakan metode
SPA
Tujuan
Dari perumusan masalah dapat dirumuskan tujuan penelitian ini sebagai berikut:
Menerapkan metode probabilitas dan kombinatorial dalam metode super pairwise
alignment
Menerapkan super pairwaise alignment dalam pensejajaran sequence-sequence virus
DNA H1N1 dan kemudian disimulasikan dengan software Matlab 7.8
Manfaat
Sebagai kajian untuk penerapan matematika dalam bioinformatika
Sebagai kajian dalam pengembangan algoritma pensejajaran sequence
Batasan Masalah
Pada penelitian ini pensejajaran sequence hanya melibatkan sequence-sequence virus
H1N1
Kode sequence virus H1N1 diperoleh dari database NCBI
Kajian Pustaka
DNA merupakan polimer yang terdiri dari
tiga komponen Gugus fosfat, deoksiribosa
dan basa nitrogen.
Basa Nitrogen terdiri dari basa purin dan
basa pirimidin
Basa purin terdiri dari adenin (A) dan guanin
(G)
Basa pirimidin terdiri dari sitosin (C) dan
timin (T).
Struktur DNA
Kajian Pustaka
Super Pairwise Alignment
Estimasi Parameter
Sliding Window
Algoritma
Kajian Pustaka
Virus adalah parasit berukuran
mikroskopik yang menginfeksi sel
organisme biologis.
Virus dapat diklasifikasikan berdasarkan
jenis asam nukleat yang dimiliki yaitu
DNA berutasan tunggal,RNA berutasan
tunggal, DNA berutasan ganda,RNA
berutasan ganda
Virus H1N1 merupakan virus influenza
Tipe C dan diklasifikasikan pada famili
Orthomyxoviridae. RNA : rantai tunggal
Virus H1N1
Orthomyxoviridae
Kajian Pustaka
. Metode matematika digunakan untuk mempelajari mutasi dan pensejajaran
meliputi tiga group yaitu analisis stokastik, struktur modulus dan teori kombinasi
graph. Analisis stokastik mempelajari bagaimana memahami karakteristik struktur
biologi. Analisis stokastik meliputi random struktur sequence, random pada mutasi
dan pada masing-masing mutasi yang terjadi.
Menurut Shen (2007), sequence DNA seperti tidak teratur dan tidak sistematis dan
nukleotida pada posisi masing-masing tidak tetap sehingga hal ini dapat dikatakan
bahwa sequence biologi merupakan sequence stokastik
Notasi sequence stokastik
Sequence
Metode Penelitian
Tahapan Penelitian
Tahap 1 Identifikasi Permasalahan dalam sequence DNA virus H1N1.
Tahap 2 Pensejajaran sequence dengan menggunakan software ClustalW dan
BLAST.
Tahap 3: Pembuatan program pensejajaran sequence dengan metode SPA
dengan menggunakan MATLAB 7.8 (2009.a)
Tahap 4 Analisis dan Pembahasan
Pensejajaran sequence DNA virus DNA H1N1 dengan program
pensejajaran sequence dengan metode SPA untuk mengetahui :
Tingkat homolog
Letak mutasi H1N1
Penalty/Gap
Tahap 5 Validasi
Hasil dan Pembahasan
software clustalW untuk
membuat filogenetik tree.
Pohon filogentik merupakan
visualisasi hubungan evolusi
diantara berbagai spesies.
Cabang-cabang pada
filogenetik treetersebut
dikonstruksi berdasarkan
kesamaan atau perbedaaan
sifat fisik atau perbedaaan
sifat fisik atau genetik
sequence DNA, sequence
asam amino (protein), pola
pemotongan enzim restriksi,
ukuran allel pada analisis
microsatellite dan lain-lain.
Studi Pendahuluan
software Clustal W
gi |284999378|gb|G U576514. 1|
gi |284999370|gb|G U576506. 1|
gi |283831864|gb|G U451262. 1|
gi |283831900|gb|G U451280. 1|
gi |284999362|gb|G U576500. 1|
gi |284999366|gb|G U576502. 1|
gi |284999368|gb|G U576504. 1|
gi |284999372|gb|G U576508. 1|
gi |284999374|gb|G U576510. 1|
gi |284999376|gb|G U576512. 1|
Hasil dan Pembahasan
Analisis pensejajaran sequence virus H1N1
Hasil akhir
Hasil dan Pembahasan
a. Running program
b. Contoh
- Sekuen kecil
- DNA H1N1
a. Analisis pensejajaran sequence virus H1N1
Program Pensejajaran Sequence dengan Menggunakan Metode SPA
Hasil dan Pembahasan
Permasalahan pada Program Pensejajaran Sequence berbasis Metode SPA
Pada algoritma Super Pairwise Alignment, beberapa parameter memerlukan penyesuaian
seperti pada pengambilan nilai n (lokal similarity). Ketidaktepatan pengambilan nilai n
berpengaruh pada optimalisasi pensejajaran sequence misalnya pada pensejajaran sequence
GU576500 dan GU451262. Pengambilan nilai parameter sama dengan proses pensejajaran
pada sequence GU451262 dan GU451280.
Hasil Running
Perbandingan hasil pensejajaran
Kesimpulan
Saran
Ketepatan pengambilan nilai n berpengaruh dalam optimalisasi hasil
pensejajaran. Pada permasalahan berbeda, user harus menentukan
parameter yang tepat dan tentu saja hal pemilihan banyaknya
parameter menimbulkan kesulitan dan waktu cukup lama dalam
proses pensejajaran.
Simulasi algoritma penelitian ini menggunakan software Matlab dan
hasil tampilan running program masih sederhana. oleh karena itu,
perlu dilakukan lebih lanjut untuk penelitian kecepatan running
program dan tampilan lebih sempurna.
Selain itu, kajian untuk kecepatan running program belum dilakukan
pada penelitian ini sehingga belum diketahui perbandingan hasil
running program dengan Software BLAST
Daftar Pustaka
[1] Giffin, Hugh G and Annette M. Griffin., Computer Analysis of Sequence Data. Humana Press, Totowa, 1994.
[2] Puzelli, Simona. Marcia Facchinin, Domenico spagnolo, Maria A.De Marco, Laura Calzonetti, Alessandro
Zanetti, Roberto Fumaggalli, Maria L.tanzi, Antonio Cassone, Giovannie Rezza,
Isabella Donatelli, and The surveillance group for Pandemic A (H1N1) 2009.,
Transmission of Hemaglutinin D222G Mutant Strain of Pandemic (H1N1) 2009 Virus. Vol t6. No,5 May 2010
[3] Shen, Shi Yi Nankai and Tuszynki., Theory and Mathematical methods for Bioinformatics. Springer,New
York,2008
[4] Shen, Shi Yi., Jun Yang, Adam Yao, Pei Ing Hwang. Super Pairwise Alignment (SPA) : An Efficient Approach
to Global Alignment For Homologous Sequences. Journal of Computational Biology Volume 9, Number
3,2002@Mary Ann Liebert inc Pp477-486
[5] Database Sequences DNA H1N1 Virus, National Center for Biotechnology Information (2011)
www.ncbi.nlm.nih.gov
Software and Tools for Microsoft PowerPoint.
The website with innovative solutions.
Save time and money by automating your presentations.
With the use of this free template you accept the
following use and license conditions.
Not for commercial use.
The template can be used freely by private persons. The
commercial employment of the free templates is not
permitted. Any further trade with contents as well as
making the diagram/template/animations available in
changed or unchanged form for downloading on other
web sites or multiplying & the selling on data media of any
kind are forbidden.
In no event shall PresentationPoint be liable for any
indirect, special or consequential damages arising out of
or in connection with the use of the template.
In case of questions for commercial usage please get in
contact with us.
E-Mail: info@presentationpoint.com
Conditions
